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Função Quadrática

f(x) = x^2 - 4

A parábola x² − 4: uma curva em U com raízes em ±2 e ponto mais baixo em (0, −4).

A função quadrática f(x) = x² − 4 é a parábola mais simples com algo interessante acontecendo: ela cruza o eixo x duas vezes, mergulha abaixo dele e dá a volta em um único ponto mais baixo. Elevar ao quadrado torna toda entrada não negativa, de modo que x² é mínimo em x = 0, e subtrair 4 desliza toda a forma em U quatro unidades para baixo. O resultado é uma curva simétrica com vértice em (0, −4), abrindo-se para cima para sempre.

As quadráticas são os cavalos de batalha da álgebra: modelam qualquer coisa em que uma quantidade depende do quadrado de outra — a área de um quadrado, a altura de uma bola lançada ao longo do tempo, o lucro de um negócio com demanda linear. O exemplo x² − 4 é especialmente instrutivo porque se fatora de forma limpa como (x − 2)(x + 2), de modo que suas interseções com o eixo x em 2 e −2 podem ser lidas diretamente da álgebra. Plote-a na calculadora e observe a simetria em torno do eixo y.

Propriedades calculadas

Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para x^2 - 4 .

Raízes em [−10, 10]: -2.0000, 2.0000
Interseção com o eixo y f(0): -4.0000
Extremos locais em [−10, 10]: local minimum at (0.0000, -4.0000)
Valores de amostra: f(-2) = 0 · f(-1) = -3 · f(0) = -4 · f(1) = -3 · f(2) = 0
Derivada f′(1): 2.0000
Integral ∫₀¹ f(x) dx: -3.6667

Fatos principais

Forma fatorada: x² − 4 = (x − 2)(x + 2); raízes (interseções com o eixo x) em x = 2 e x = −2.
Vértice (mínimo global) em (0, −4); o eixo de simetria é o eixo y (x = 0).
Domínio: todos os números reais; imagem: y ≥ −4.
Função par: f(−x) = f(x); o gráfico espelha-se em relação ao eixo y.
Interseção com o eixo y em (0, −4); a função é negativa entre as raízes e positiva fora delas.
Derivada f′(x) = 2x; a inclinação é zero no vértice e a segunda derivada é a constante 2.

O que é esta quadrática

Toda quadrática tem a forma ax² + bx + c, e seu gráfico é sempre uma parábola — a forma em U que se obtém ao elevar ao quadrado. Aqui a = 1 (positivo, então o U abre para cima), b = 0 (sem inclinação, então o vértice fica sobre o eixo y) e c = −4 (a interseção com o eixo y). A fórmula do vértice x = −b/(2a) dá x = 0, e f(0) = −4, confirmando o mínimo em (0, −4).

A fatoração revela as raízes: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), uma diferença de quadrados, de modo que a curva cruza o eixo x exatamente onde cada fator é zero — em x = 2 e x = −2. Entre as raízes, a função é negativa (o mergulho abaixo do eixo); fora delas, é positiva e cresce sem limite. Como o termo x² domina para |x| grande, ambos os braços da parábola se dirigem a +∞.

Simetria, vértice e taxa de variação

O eixo y é o eixo de simetria da parábola: f(−x) = f(x), de modo que a metade esquerda espelha a direita. O vértice é o ponto de virada da parábola — aqui o mínimo global, já que os braços sobem para sempre. Toda quadrática tem exatamente um vértice e exatamente um valor extremo, e é por isso que as quadráticas são o modelo ideal para otimização: lucro máximo, custo mínimo, ponto mais alto de uma trajetória.

A derivada f′(x) = 2x conta o resto da história: negativa para x < 0 (descendo até o vértice), zero em x = 0 (o fundo plano), positiva para x > 0 (subindo). A própria inclinação cresce linearmente, com segunda derivada constante de 2 — a assinatura da aceleração constante, que é por que a distância sob a gravidade é quadrática no tempo.

Onde as quadráticas aparecem

Lance uma bola e sua altura segue uma parábola: h(t) = −4,9t² + v₀t + h₀, a mesma forma de x² − 4, mas invertida e deslocada. Áreas e volumes produzem quadráticas e cúbicas naturalmente — dobrar o lado de um quadrado quadruplica sua área — e a fórmula quadrática resolve toda equação desse tipo, incluindo esta: x = ±√4 = ±2.

Na economia, o lucro em função do preço é frequentemente modelado como uma parábola que abre para baixo (a receita sobe e depois cai à medida que o preço aumenta), e seu vértice dá o preço ótimo. Na estatística, o ajuste por mínimos quadrados minimiza uma função de erro quadrática, e a curva em sino da distribuição normal é e^(−x²) — uma quadrática no expoente.

Represente f(x) = x^2 - 4 na calculadora

Perguntas frequentes

Como encontrar as raízes de x² − 4?

Fatore como diferença de quadrados: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Um produto é zero quando algum fator é zero, então x = 2 ou x = −2. Equivalentemente, a fórmula quadrática dá x = (0 ± √(0 + 16))/2 = ±2.

Qual é o valor mínimo de x² − 4?

−4, atingido em x = 0. Como x² ≥ 0 para todo x real, subtrair 4 dá x² − 4 ≥ −4, com igualdade apenas quando x² = 0. O vértice (0, −4) é o ponto mais baixo da parábola, e a função cresce sem limite em ambos os lados.

Por que o gráfico é simétrico?

Porque só aparecem potências pares de x: (−x)² − 4 = x² − 4, então f(−x) = f(x). Cada entrada e seu negativo dão a mesma saída, o que espelha a metade direita do gráfico sobre o eixo y para a metade esquerda.