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Funzione tangente
f(x) = tan(x)
Una curva ripetuta che sale da −∞ a +∞, con asintoti verticali dove il coseno tocca lo zero.
La funzione tangente, tan(x) = sin(x)/cos(x), non assomiglia per niente alle sue sorelle ondulate: invece di oscillare tra −1 e 1, spazza verso l’alto attraverso ogni valore reale, poi salta e ricomincia. Ciascun ramo ripetuto passa per uno zero in x = nπ, sale sempre più ripidamente e schizza all’infinito mentre x si avvicina a π/2 + nπ — i punti dove cos(x) = 0 e il rapporto esplode. Quelli sono gli asintoti verticali della funzione, i muri tratteggiati che la curva può avvicinare ma mai toccare.
La tangente misura la pendenza: in un triangolo rettangolo è opposto su adiacente, la pendenza dell’ipotenusa, e per un angolo di inclinazione dà direttamente la pendenza della retta. Poiché tan(x + π) = tan(x), il suo periodo è solo π — metà di quello di seno e coseno. Digita tan(x) nella calcolatrice e allontana lo zoom per vedere i rami piastrellare il piano, ciascuno una curva a S stirata tra due asintoti.
Proprietà calcolate
Calcolate dal motore matematico della calcolatrice grafica al momento della build per tan(x) .
- Radici in [−10, 10]
- -9.4248, -7.8540, -6.2832, -4.7124, -3.1416, -1.5708, 0.0000, 1.5708, 3.1416, 4.7124, 6.2832, 7.8540, 9.4248
- Intercetta y f(0)
- 0.0000
- Estremi locali in [−10, 10]
-
- local maximum at (-7.8540, 199087826626279.5938)
- local minimum at (-7.8540, -108838255169697.7969)
- local minimum at (-4.7124, 627880472489264.5000)
- local maximum at (-4.7124, -510190062007397.1250)
- local maximum at (-1.5708, 786760216799608.2500)
- local minimum at (-1.5708, -78630107396901.1406)
- …e altre 6
- Valori campione
- f(-2) = 2.185 · f(-1) = -1.5574 · f(0) = 0 · f(1) = 1.5574 · f(2) = -2.185
- Derivata f′(1)
- 3.4255
- Integrale ∫₀¹ f(x) dx
- 0.6156
Fatti chiave
- tan(x) = sin(x)/cos(x); dominio: tutti gli x reali tranne π/2 + nπ.
- Codominio: tutti i numeri reali — la tangente è illimitata sopra e sotto.
- Periodo π: tan(x + π) = tan(x); funzione dispari, tan(−x) = −tan(x).
- Zeri in x = nπ; asintoti verticali in x = π/2 + nπ.
- La derivata è sec²(x) = 1 + tan²(x), sempre ≥ 1; vicino a 0, tan(x) ≈ x.
Cos’è la tangente
Geometricamente, tan(x) è la pendenza del raggio all’angolo x: disegna il raggio dall’origine all’angolo x e vedi quanto ripidamente sale, cioè salita su corsa — opposto su adiacente. Equivalentemente, è la coordinata y dove quel raggio incontra la retta verticale x = 1 tangente al cerchio unitario, da cui il nome. Mentre il raggio oscilla verso l’alto in verticale, il punto di intersezione corre via all’infinito, e nel momento in cui il raggio punta esattamente verso l’alto non c’è più intersezione — l’asintoto.
Poiché tan(x) = sin(x)/cos(x), gli zeri della funzione vengono dal seno (in x = nπ) e i suoi asintoti dagli zeri del coseno (in x = π/2 + nπ). La tangente è una funzione dispari, tan(−x) = −tan(x), quindi ciascun ramo è simmetrico per rotazione attorno al proprio zero, e l’intero grafico si ripete ogni π perché spostare sia seno che coseno di π ne inverte entrambi i segni, lasciando il rapporto invariato.
Asintoti e comportamento illimitato
Gli asintoti verticali in x = π/2 + nπ sono la caratteristica più sorprendente di tan(x): avvicinandosi da sinistra la curva tende a +∞, da destra a −∞. La funzione è continua su ciascun intervallo tra asintoti ma ha un salto inevitabile a ogni asintoto — nessuna ridefinizione può sistemarlo, perché i limiti sinistro e destro discordano. Questo rende la tangente l’esempio scolastico standard di funzione con infiniti asintoti verticali.
A differenza di seno e coseno, la tangente è illimitata in entrambe le direzioni: il suo codominio è tutti i numeri reali. Vicino a zero si comporta quasi come la retta y = x (l’approssimazione per piccoli angoli tan(x) ≈ x), poi si irripidisce drammaticamente — in x = 1.4 radianti il valore è già circa 5.8, e in 1.57 è enorme. La sua derivata, sec²(x) = 1 + tan²(x), è sempre almeno 1, a conferma che la curva non si appiattisce mai.
Dove compare la tangente
La tangente converte angoli in pendenze, quindi compare ovunque l’inclinazione conta: la pendenza di una collina (una pendenza di 45° è una pendenza del 100% perché tan(45°) = 1), la matematica delle traiettorie dei proiettili e l’angolo dell’ombra di una meridiana. In analisi, la derivata stessa è una pendenza tangente — la retta tangente a una curva in un punto — e l’arcotangente, arctan, è come le calcolatrici recuperano gli angoli dalle pendenze, per esempio trovando una direzione da Δy/Δx.
In fisica, tan compare nelle relazioni di fase: l’angolo di fase di un oscillatore forzato soddisfa tan(φ) = (termine di smorzamento)/(termine di rigidezza), e in ottica l’angolo di Brewster obbedisce a tan(θ) = n₂/n₁. Ovunque conti un rapporto tra componente verticale e orizzontale, la tangente è il linguaggio naturale.
Domande frequenti
Perché tan(x) ha asintoti?
Perché tan(x) = sin(x)/cos(x), e cos(x) = 0 in x = π/2 + nπ. Dividere per valori sempre più vicini a zero fa crescere il rapporto senza limite, quindi il grafico schizza a ±∞ su entrambi i lati di ciascuno di quei punti. La funzione lì è semplicemente indefinita.
Qual è il periodo della tangente?
π, metà del periodo di seno e coseno. Aggiungere π all’angolo inverte i segni sia di sin(x) che di cos(x), e le due inversioni si cancellano nel rapporto, quindi tan(x + π) = tan(x). Il grafico ripete il suo motivo di rami ogni π radianti.
La tangente è crescente ovunque?
È crescente su ciascun intervallo tra asintoti consecutivi, ma non è crescente come funzione nel suo insieme — salta da +∞ di nuovo giù a −∞ a ogni asintoto. Quindi l’affermazione “tan è crescente” è vera solo dentro un singolo ramo, come (−π/2, π/2).