Bibliothèque de fonctions
Fonction tangente
f(x) = tan(x)
Une courbe répétitive qui grimpe de −∞ à +∞, avec des asymptotes verticales là où le cosinus s’annule.
La fonction tangente, tan(x) = sin(x)/cos(x), ne ressemble en rien à ses sœurs en forme d’onde : au lieu d’osciller entre −1 et 1, elle balaie vers le haut toutes les valeurs réelles, puis saute et recommence. Chaque branche répétitive passe par un zéro en x = nπ, grimpe de plus en plus raide, et file vers l’infini quand x approche π/2 + nπ — les points où cos(x) = 0 et où le rapport explose. Ce sont les asymptotes verticales de la fonction, les murs en pointillés que la courbe peut approcher sans jamais toucher.
La tangente mesure la raideur : dans un triangle rectangle, c’est opposé sur adjacent, la pente de l’hypoténuse, et pour un angle d’inclinaison elle donne directement la pente de la droite. Comme tan(x + π) = tan(x), sa période n’est que de π — la moitié de celle du sinus et du cosinus. Tapez tan(x) dans la calculatrice et dézoomez pour voir les branches paver le plan, chacune étant une courbe en S étirée entre deux asymptotes.
Propriétés calculées
Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour tan(x) .
- Racines dans [−10, 10]
- -9.4248, -7.8540, -6.2832, -4.7124, -3.1416, -1.5708, 0.0000, 1.5708, 3.1416, 4.7124, 6.2832, 7.8540, 9.4248
- Intersection avec l’axe y f(0)
- 0.0000
- Extrémums locaux dans [−10, 10]
-
- local maximum at (-7.8540, 199087826626279.5938)
- local minimum at (-7.8540, -108838255169697.7969)
- local minimum at (-4.7124, 627880472489264.5000)
- local maximum at (-4.7124, -510190062007397.1250)
- local maximum at (-1.5708, 786760216799608.2500)
- local minimum at (-1.5708, -78630107396901.1406)
- …et 6 de plus
- Valeurs échantillons
- f(-2) = 2.185 · f(-1) = -1.5574 · f(0) = 0 · f(1) = 1.5574 · f(2) = -2.185
- Dérivée f′(1)
- 3.4255
- Intégrale ∫₀¹ f(x) dx
- 0.6156
Faits essentiels
- tan(x) = sin(x)/cos(x) ; domaine : tous les réels x sauf π/2 + nπ.
- Ensemble d’arrivée : tous les réels — la tangente est non bornée vers le haut comme vers le bas.
- Période π : tan(x + π) = tan(x) ; fonction impaire, tan(−x) = −tan(x).
- Zéros en x = nπ ; asymptotes verticales en x = π/2 + nπ.
- La dérivée est sec²(x) = 1 + tan²(x), toujours ≥ 1 ; près de 0, tan(x) ≈ x.
Ce qu’est la tangente
Géométriquement, tan(x) est la pente du rayon d’angle x : tracez le rayon issu de l’origine d’angle x et voyez à quel point il monte raide — montée sur déplacement horizontal, opposé sur adjacent. De façon équivalente, c’est l’ordonnée où ce rayon rencontre la droite verticale x = 1 tangente au cercle unité, d’où vient le nom. Quand le rayon pivote vers la verticale, le point d’intersection file vers l’infini, et au moment où le rayon pointe exactement vers le haut, il n’y a plus d’intersection du tout — l’asymptote.
Comme tan(x) = sin(x)/cos(x), les zéros de la fonction viennent du sinus (en x = nπ) et ses asymptotes des zéros du cosinus (en x = π/2 + nπ). La tangente est une fonction impaire, tan(−x) = −tan(x) : chaque branche est donc à symétrie centrale autour de son propre zéro, et tout le graphe se répète tous les π parce que décaler sinus et cosinus de π change les deux signes, laissant le rapport inchangé.
Asymptotes et comportement non borné
Les asymptotes verticales en x = π/2 + nπ sont le trait le plus frappant de tan(x) : en approchant par la gauche, la courbe tend vers +∞, par la droite vers −∞. La fonction est continue sur chaque intervalle entre asymptotes mais présente un saut inévitable à chaque asymptote — aucune redéfinition ne peut le réparer, car les limites à gauche et à droite diffèrent. Cela fait de la tangente l’exemple classique en classe d’une fonction avec une infinité d’asymptotes verticales.
Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente est non bornée dans les deux sens : son ensemble d’arrivée est tous les réels. Près de zéro, elle se comporte presque comme la droite y = x (l’approximation aux petits angles tan(x) ≈ x), puis se raidit spectaculairement — en x = 1,4 radian, la valeur vaut déjà environ 5,8, et en 1,57 elle est énorme. Sa dérivée, sec²(x) = 1 + tan²(x), vaut toujours au moins 1, confirmant que la courbe ne s’aplatit jamais.
Où apparaît la tangente
La tangente convertit les angles en pentes : elle apparaît donc partout où l’inclinaison compte — la déclivité d’une colline (une pente de 45° est une déclivité de 100 % car tan(45°) = 1), les mathématiques de trajectoire des projectiles, et l’angle de l’ombre d’un cadran solaire. En calcul différentiel, la dérivée elle-même est une pente de tangente — la tangente à une courbe en un point — et l’arc tangente, arctan, est la façon dont les calculatrices retrouvent les angles depuis les pentes, par exemple pour trouver un cap à partir de Δy/Δx.
En physique, tan apparaît dans les relations de phase : l’angle de phase d’un oscillateur forcé vérifie tan(φ) = (terme d’amortissement)/(terme de raideur), et en optique l’angle de Brewster obéit à tan(θ) = n₂/n₁. Partout où un rapport de composantes verticale sur horizontale compte, la tangente est le langage naturel.
Questions fréquentes
Pourquoi tan(x) a-t-elle des asymptotes ?
Parce que tan(x) = sin(x)/cos(x), et cos(x) = 0 en x = π/2 + nπ. Diviser par des valeurs de plus en plus proches de zéro fait croître le rapport sans borne : le graphe file donc vers ±∞ de part et d’autre de chacun de ces points. La fonction y est simplement non définie.
Quelle est la période de la tangente ?
π, la moitié de la période du sinus et du cosinus. Ajouter π à l’angle change les signes à la fois de sin(x) et de cos(x), et les deux changements s’annulent dans le rapport : tan(x + π) = tan(x). Le graphe répète son motif de branches tous les π radians.
La tangente est-elle croissante partout ?
Elle est croissante sur chaque intervalle entre deux asymptotes consécutives, mais elle n’est pas croissante comme fonction entière — elle saute de +∞ à −∞ à chaque asymptote. L’affirmation « tan est croissante » n’est donc vraie qu’au sein d’une seule branche, comme (−π/2, π/2).