Biblioteca de funciones
Función tangente
f(x) = tan(x)
Una curva repetitiva que sube de −∞ a +∞, con asíntotas verticales donde el coseno se anula.
La función tangente, tan(x) = sin(x)/cos(x), no se parece en nada a sus hermanas con forma de onda: en lugar de oscilar entre −1 y 1, barre hacia arriba pasando por cada valor real, luego salta y empieza de nuevo. Cada rama repetitiva pasa por un cero en x = nπ, sube cada vez más empinada y se dispara al infinito cuando x se acerca a π/2 + nπ, los puntos donde cos(x) = 0 y el cociente explota. Esas son las asíntotas verticales de la función, los muros punteados a los que la curva puede acercarse pero nunca tocar.
La tangente mide la inclinación: en un triángulo rectángulo es cateto opuesto sobre cateto adyacente, la pendiente de la hipotenusa, y para un ángulo de inclinación da directamente la pendiente de la recta. Como tan(x + π) = tan(x), su período es solo π, la mitad que el del seno y el coseno. Escribe tan(x) en la calculadora y aleja la vista para ver cómo las ramas recubren el plano, cada una una curva en S estirada entre dos asíntotas.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para tan(x) .
- Raíces en [−10, 10]
- -9.4248, -7.8540, -6.2832, -4.7124, -3.1416, -1.5708, 0.0000, 1.5708, 3.1416, 4.7124, 6.2832, 7.8540, 9.4248
- Intersección con el eje y f(0)
- 0.0000
- Extremos locales en [−10, 10]
-
- local maximum at (-7.8540, 199087826626279.5938)
- local minimum at (-7.8540, -108838255169697.7969)
- local minimum at (-4.7124, 627880472489264.5000)
- local maximum at (-4.7124, -510190062007397.1250)
- local maximum at (-1.5708, 786760216799608.2500)
- local minimum at (-1.5708, -78630107396901.1406)
- …y 6 más
- Valores de muestra
- f(-2) = 2.185 · f(-1) = -1.5574 · f(0) = 0 · f(1) = 1.5574 · f(2) = -2.185
- Derivada f′(1)
- 3.4255
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.6156
Datos clave
- tan(x) = sin(x)/cos(x); el dominio son todos los x reales excepto π/2 + nπ.
- Rango: todos los números reales; la tangente no está acotada ni por arriba ni por abajo.
- Período π: tan(x + π) = tan(x); función impar, tan(−x) = −tan(x).
- Ceros en x = nπ; asíntotas verticales en x = π/2 + nπ.
- La derivada es sec²(x) = 1 + tan²(x), siempre ≥ 1; cerca de 0, tan(x) ≈ x.
Qué es la tangente
Geométricamente, tan(x) es la pendiente del rayo en el ángulo x: dibuja el rayo desde el origen con ángulo x y mira lo empinado que sube, que es elevación sobre avance, opuesto sobre adyacente. Equivalentemente, es la coordenada y donde ese rayo corta la recta vertical x = 1 tangente al círculo unitario, de ahí el nombre. Cuando el rayo gira hacia la vertical, el punto de intersección se aleja corriendo al infinito, y en el momento en que el rayo apunta exactamente hacia arriba no hay intersección: la asíntota.
Como tan(x) = sin(x)/cos(x), los ceros de la función vienen del seno (en x = nπ) y sus asíntotas de los ceros del coseno (en x = π/2 + nπ). La tangente es una función impar, tan(−x) = −tan(x), así que cada rama es simétrica por rotación sobre su propio cero, y toda la gráfica se repite cada π porque desplazar π tanto el seno como el coseno cambia ambos signos, dejando el cociente igual.
Asíntotas y comportamiento no acotado
Las asíntotas verticales en x = π/2 + nπ son el rasgo más llamativo de tan(x): al acercarse por la izquierda la curva tiende a +∞, por la derecha a −∞. La función es continua en cada intervalo entre asíntotas pero tiene un salto inevitable en cada asíntota: ninguna redefinición puede arreglarlo, porque los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden. Esto hace de la tangente el ejemplo clásico en clase de una función con infinitas asíntotas verticales.
A diferencia del seno y el coseno, la tangente no está acotada en ninguna dirección: su rango son todos los números reales. Cerca de cero se comporta casi como la recta y = x (la aproximación de ángulo pequeño tan(x) ≈ x), luego se empina dramáticamente: en x = 1.4 radianes el valor ya es unos 5.8, y en 1.57 es enorme. Su derivada, sec²(x) = 1 + tan²(x), siempre es al menos 1, lo que confirma que la curva nunca se aplana.
Dónde aparece la tangente
La tangente convierte ángulos en pendientes, así que aparece donde la inclinación importa: la pendiente de una colina (una cuesta de 45° es un 100% de pendiente porque tan(45°) = 1), las matemáticas de la trayectoria de proyectiles y el ángulo de la sombra de un reloj de sol. En cálculo, la propia derivada es una pendiente tangente —la recta tangente a una curva en un punto—, y la tangente inversa, arctan, es como las calculadoras recuperan ángulos a partir de pendientes, por ejemplo para hallar un rumbo a partir de Δy/Δx.
En física, tan aparece en relaciones de fase: el ángulo de fase de un oscilador forzado cumple tan(φ) = (término de amortiguación)/(término de rigidez), y en óptica el ángulo de Brewster obedece tan(θ) = n₂/n₁. Dondequiera que importe un cociente entre componentes vertical y horizontal, la tangente es el lenguaje natural.
Preguntas frecuentes
¿Por qué tan(x) tiene asíntotas?
Porque tan(x) = sin(x)/cos(x), y cos(x) = 0 en x = π/2 + nπ. Dividir entre valores cada vez más cercanos a cero hace que el cociente crezca sin límite, así que la gráfica se dispara a ±∞ a cada lado de esos puntos. La función simplemente no está definida allí.
¿Cuál es el período de la tangente?
π, la mitad del período del seno y el coseno. Sumar π al ángulo cambia el signo tanto de sin(x) como de cos(x), y los dos cambios de signo se cancelan en el cociente, así que tan(x + π) = tan(x). La gráfica repite su patrón de ramas cada π radianes.
¿La tangente es creciente en todas partes?
Es creciente en cada intervalo entre asíntotas consecutivas, pero no es creciente como función global: salta de +∞ de vuelta a −∞ en cada asíntota. Así que «tan es creciente» solo es cierto dentro de una rama, como (−π/2, π/2).