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Tangensfunktion

f(x) = tan(x)

Eine sich wiederholende Kurve, die von −∞ nach +∞ klettert, mit senkrechten Asymptoten, wo der Kosinus null wird.

Die Tangensfunktion, tan(x) = sin(x)/cos(x), sieht ganz anders aus als ihre wellenförmigen Geschwister: Statt zwischen −1 und 1 zu oszillieren, fegt sie durch jeden reellen Wert nach oben, springt dann und beginnt von vorn. Jeder sich wiederholende Ast passiert eine Nullstelle bei x = nπ, klettert immer steiler und schießt ins Unendliche, wenn x sich π/2 + nπ nähert — den Punkten, wo cos(x) = 0 und das Verhältnis explodiert. Das sind die senkrechten Asymptoten der Funktion, die gestrichelten Mauern, denen sich die Kurve nähern, aber die sie niemals berühren kann.

Der Tangens misst Steilheit: In einem rechtwinkligen Dreieck ist er Gegenkathete durch Ankathete, die Steigung der Hypotenuse, und für einen Neigungswinkel gibt er die Steigung der Geraden direkt an. Weil tan(x + π) = tan(x), beträgt seine Periode nur π — die Hälfte der von Sinus und Kosinus. Geben Sie tan(x) in den Rechner ein und zoomen Sie heraus, um zu sehen, wie die Äste die Ebene kacheln, jeder eine gestreckte S-Kurve zwischen zwei Asymptoten.

Berechnete Eigenschaften

Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für tan(x) .

Nullstellen in [−10, 10]: -9.4248, -7.8540, -6.2832, -4.7124, -3.1416, -1.5708, 0.0000, 1.5708, 3.1416, 4.7124, 6.2832, 7.8540, 9.4248
y-Achsenabschnitt f(0): 0.0000
Lokale Extremstellen in [−10, 10]: local maximum at (-7.8540, 199087826626279.5938)
local minimum at (-7.8540, -108838255169697.7969)
local minimum at (-4.7124, 627880472489264.5000)
local maximum at (-4.7124, -510190062007397.1250)
local maximum at (-1.5708, 786760216799608.2500)
local minimum at (-1.5708, -78630107396901.1406)

…und 6 weitere
Stichprobenwerte: f(-2) = 2.185 · f(-1) = -1.5574 · f(0) = 0 · f(1) = 1.5574 · f(2) = -2.185
Ableitung f′(1): 3.4255
Integral ∫₀¹ f(x) dx: 0.6156

Wichtige Fakten

tan(x) = sin(x)/cos(x); Definitionsbereich sind alle reellen x außer π/2 + nπ.
Wertebereich: alle reellen Zahlen — der Tangens ist nach oben und unten unbeschränkt.
Periode π: tan(x + π) = tan(x); ungerade Funktion, tan(−x) = −tan(x).
Nullstellen bei x = nπ; senkrechte Asymptoten bei x = π/2 + nπ.
Ableitung ist sec²(x) = 1 + tan²(x), immer ≥ 1; nahe 0 gilt tan(x) ≈ x.

Was der Tangens ist

Geometrisch ist tan(x) die Steigung des Strahls beim Winkel x: Zeichnen Sie den Strahl vom Ursprung beim Winkel x und sehen Sie, wie steil er ansteigt — Anstieg durch waagrechte Strecke, Gegenkathete durch Ankathete. Äquivalent ist es die y-Koordinate, wo dieser Strahl die senkrechte Gerade x = 1 trifft, die den Einheitskreis berührt — daher der Name. Wenn der Strahl gerade nach oben schwingt, rast der Schnittpunkt ins Unendliche davon, und in dem Moment, wo der Strahl exakt nach oben zeigt, gibt es gar keinen Schnittpunkt — die Asymptote.

Da tan(x) = sin(x)/cos(x), stammen die Nullstellen der Funktion vom Sinus (bei x = nπ) und ihre Asymptoten von den Nullstellen des Kosinus (bei x = π/2 + nπ). Der Tangens ist eine ungerade Funktion, tan(−x) = −tan(x), sodass jeder Ast drehsymmetrisch um seine eigene Nullstelle ist, und der gesamte Graph wiederholt sich alle π, weil das Verschieben von Sinus und Kosinus um π beide Vorzeichen kippt und das Verhältnis unverändert lässt.

Asymptoten und unbeschränktes Verhalten

Die senkrechten Asymptoten bei x = π/2 + nπ sind das auffälligste Merkmal von tan(x): Von links kommend strebt die Kurve gegen +∞, von rechts gegen −∞. Die Funktion ist auf jedem Intervall zwischen Asymptoten stetig, hat aber an jeder Asymptote einen unvermeidlichen Sprung — keine Umdefinition kann ihn beheben, weil linker und rechter Grenzwert nicht übereinstimmen. Das macht den Tangens zum Standard-Schulbeispiel einer Funktion mit unendlich vielen senkrechten Asymptoten.

Anders als Sinus und Kosinus ist der Tangens in beide Richtungen unbeschränkt: Sein Wertebereich sind alle reellen Zahlen. Nahe null verhält er sich fast wie die Gerade y = x (die Kleinwinkelnäherung tan(x) ≈ x), wird dann dramatisch steiler — bei x = 1,4 Bogenmaß beträgt der Wert bereits etwa 5,8, und bei 1,57 ist er enorm. Seine Ableitung, sec²(x) = 1 + tan²(x), ist immer mindestens 1, was bestätigt, dass die Kurve niemals abflacht.

Wo der Tangens vorkommt

Der Tangens wandelt Winkel in Steigungen um, sodass er überall vorkommt, wo Neigung zählt: die Steigung eines Hügels (eine 45°-Steigung sind 100 % Steigung, weil tan(45°) = 1), die Wurfmathematik von Projektilen und der Winkel des Schattens einer Sonnenuhr. In der Analysis ist die Ableitung selbst eine Tangentensteigung — die Tangente an eine Kurve in einem Punkt — und der Arkustangens, arctan, ist, wie Rechner Winkel aus Steigungen zurückgewinnen, etwa beim Finden einer Peilung aus Δy/Δx.

In der Physik taucht tan in Phasenbeziehungen auf: Der Phasenwinkel eines getriebenen Oszillators erfüllt tan(φ) = (Dämpfungsterm)/(Steifigkeitsterm), und in der Optik gehorcht der Brewster-Winkel tan(θ) = n₂/n₁. Überall, wo ein Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Komponente zählt, ist der Tangens die natürliche Sprache.

f(x) = tan(x) im Rechner zeichnen

Häufig gestellte Fragen

Warum hat tan(x) Asymptoten?

Weil tan(x) = sin(x)/cos(x), und cos(x) = 0 bei x = π/2 + nπ. Das Dividieren durch Werte immer näher bei null lässt das Verhältnis unbeschränkt wachsen, sodass der Graph auf beiden Seiten jedes dieser Punkte gegen ±∞ schießt. Die Funktion ist dort schlicht undefiniert.

Was ist die Periode des Tangens?

π, die halbe Periode von Sinus und Kosinus. Das Addieren von π zum Winkel kippt die Vorzeichen von sin(x) und cos(x), und die beiden Kippungen heben sich im Verhältnis auf, sodass tan(x + π) = tan(x). Der Graph wiederholt sein Astmuster alle π Bogenmaß.

Ist der Tangens überall steigend?

Er steigt auf jedem Intervall zwischen aufeinanderfolgenden Asymptoten, aber er steigt nicht als ganze Funktion — er springt an jeder Asymptote von +∞ zurück auf −∞. Die Aussage „tan steigt“ gilt also nur innerhalb eines einzelnen Asts, etwa (−π/2, π/2).