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Função Tangente

f(x) = tan(x)

Uma curva repetitiva que sobe de −∞ a +∞, com assíntotas verticais onde o cosseno zera.

A função tangente, tan(x) = sin(x)/cos(x), não se parece em nada com suas irmãs em forma de onda: em vez de oscilar entre −1 e 1, ela varre para cima todos os valores reais, depois salta e recomeça. Cada ramo repetitivo passa por um zero em x = nπ, sobe cada vez mais íngreme e dispara para o infinito à medida que x se aproxima de π/2 + nπ — os pontos onde cos(x) = 0 e a razão explode. Essas são as assíntotas verticais da função, as paredes tracejadas que a curva pode se aproximar, mas nunca tocar.

A tangente mede inclinação: em um triângulo retângulo, ela é cateto oposto sobre cateto adjacente, a inclinação da hipotenusa, e para um ângulo de inclinação ela fornece diretamente a inclinação da reta. Como tan(x + π) = tan(x), seu período é apenas π — metade do período do seno e do cosseno. Digite tan(x) na calculadora e afaste o zoom para ver os ramos ladrilharem o plano, cada um uma curva em S esticada entre duas assíntotas.

Propriedades calculadas

Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para tan(x) .

Raízes em [−10, 10]: -9.4248, -7.8540, -6.2832, -4.7124, -3.1416, -1.5708, 0.0000, 1.5708, 3.1416, 4.7124, 6.2832, 7.8540, 9.4248
Interseção com o eixo y f(0): 0.0000
Extremos locais em [−10, 10]: local maximum at (-7.8540, 199087826626279.5938)
local minimum at (-7.8540, -108838255169697.7969)
local minimum at (-4.7124, 627880472489264.5000)
local maximum at (-4.7124, -510190062007397.1250)
local maximum at (-1.5708, 786760216799608.2500)
local minimum at (-1.5708, -78630107396901.1406)

…e mais 6
Valores de amostra: f(-2) = 2.185 · f(-1) = -1.5574 · f(0) = 0 · f(1) = 1.5574 · f(2) = -2.185
Derivada f′(1): 3.4255
Integral ∫₀¹ f(x) dx: 0.6156

Fatos principais

tan(x) = sin(x)/cos(x); o domínio é todo x real exceto π/2 + nπ.
Imagem: todos os números reais — a tangente é ilimitada para cima e para baixo.
Período π: tan(x + π) = tan(x); função ímpar, tan(−x) = −tan(x).
Zeros em x = nπ; assíntotas verticais em x = π/2 + nπ.
A derivada é sec²(x) = 1 + tan²(x), sempre ≥ 1; perto de 0, tan(x) ≈ x.

O que é a tangente

Geometricamente, tan(x) é a inclinação do raio no ângulo x: desenhe o raio a partir da origem no ângulo x e veja quão íngreme ele sobe — subida sobre deslocamento, ou seja, oposto sobre adjacente. Equivalentemente, é a coordenada y onde esse raio encontra a reta vertical x = 1, tangente ao círculo unitário — daí vem o nome. À medida que o raio gira em direção ao alto, o ponto de interseção corre para o infinito, e no momento em que o raio aponta exatamente para cima não há interseção alguma — a assíntota.

Como tan(x) = sin(x)/cos(x), os zeros da função vêm do seno (em x = nπ) e suas assíntotas vêm dos zeros do cosseno (em x = π/2 + nπ). A tangente é uma função ímpar, tan(−x) = −tan(x), de modo que cada ramo é rotacionalmente simétrico em torno do seu próprio zero, e todo o gráfico se repete a cada π, porque deslocar seno e cosseno em π inverte ambos os sinais, deixando a razão inalterada.

Assíntotas e comportamento ilimitado

As assíntotas verticais em x = π/2 + nπ são a característica mais marcante de tan(x): aproximando-se pela esquerda, a curva tende a +∞; pela direita, a −∞. A função é contínua em cada intervalo entre assíntotas, mas tem um salto inevitável em cada assíntota — nenhuma redefinição pode consertá-lo, porque os limites laterais discordam. Isso faz da tangente o exemplo clássico em sala de aula de uma função com infinitas assíntotas verticais.

Ao contrário do seno e do cosseno, a tangente é ilimitada em ambas as direções: sua imagem é todos os números reais. Perto de zero, ela se comporta quase como a reta y = x (a aproximação de ângulo pequeno tan(x) ≈ x) e depois se inclina dramaticamente — em x = 1,4 radianos o valor já é cerca de 5,8, e em 1,57 é enorme. Sua derivada, sec²(x) = 1 + tan²(x), é sempre pelo menos 1, confirmando que a curva nunca se achata.

Onde a tangente aparece

A tangente converte ângulos em inclinações, por isso aparece onde quer que a inclinação importe: o declive de uma ladeira (uma rampa de 45° é um declive de 100% porque tan(45°) = 1), a matemática da trajetória de projéteis e o ângulo da sombra de um relógio de sol. No cálculo, a própria derivada é uma inclinação tangente — a reta tangente a uma curva em um ponto — e a tangente inversa, arctan, é como as calculadoras recuperam ângulos a partir de inclinações, por exemplo ao encontrar um rumo a partir de Δy/Δx.

Na física, tan aparece em relações de fase: o ângulo de fase de um oscilador forçado satisfaz tan(φ) = (termo de amortecimento)/(termo de rigidez), e na óptica o ângulo de Brewster obedece tan(θ) = n₂/n₁. Onde quer que uma razão entre componentes vertical e horizontal importe, a tangente é a linguagem natural.

Represente f(x) = tan(x) na calculadora

Perguntas frequentes

Por que tan(x) tem assíntotas?

Porque tan(x) = sin(x)/cos(x), e cos(x) = 0 em x = π/2 + nπ. Dividir por valores cada vez mais próximos de zero faz a razão crescer sem limite, de modo que o gráfico dispara para ±∞ de cada lado de cada um desses pontos. A função simplesmente não está definida ali.

Qual é o período da tangente?

π, metade do período do seno e do cosseno. Somar π ao ângulo inverte os sinais de sin(x) e cos(x), e as duas inversões se cancelam na razão, de modo que tan(x + π) = tan(x). O gráfico repete seu padrão de ramos a cada π radianos.

A tangente é crescente em todos os lugares?

Ela é crescente em cada intervalo entre assíntotas consecutivas, mas não é crescente como função inteira — ela salta de +∞ de volta para −∞ em cada assíntota. Assim, a afirmação “tan é crescente” só é verdadeira dentro de um único ramo, como (−π/2, π/2).