O que é uma Função? Domínio, Imagem e Notação

Uma função é uma regra com uma promessa

Uma função é uma regra que toma cada valor de entrada e atribui a ele exatamente um valor de saída. Essa palavra “exatamente” faz todo o trabalho: uma função nunca pode entregar duas saídas diferentes para a mesma entrada. Se você fornece x = 2, a função devolve uma resposta, e se você fornecer 2 de novo amanhã, obtém a mesma resposta. Os matemáticos chamam esse requisito de “bem definido”, e é o que separa as funções de tipos mais frouxos de relações entre quantidades.

Considere f(x) = x^2. A entrada 3 produz a saída 9, e a entrada −3 também produz 9. Isso está bem — duas entradas diferentes podem compartilhar uma saída. O que não estaria bem é se a regra atribuísse 9 e 10 à entrada 3. Então a regra não seria uma função.

A notação f(x) e o que ela significa

A expressão f(x) se lê “f de x” e nomeia a saída da função f quando a entrada é x. A letra f é apenas um nome; você poderia igualmente usar g, h ou custoDe. Escrever f(x) = 2*x + 1 diz: a função f calcula sua saída dobrando sua entrada e somando um. Então f(4) = 9, f(−1) = −1, e assim por diante.

Essa notação se torna poderosa quando você compara funções. Se g(x) = x^2, então f(g(2)) = f(4) = 9 — você alimentou a saída de g em f. Encadear funções assim se chama composição, e a notação facilita acompanhar exatamente qual regra é aplicada a qual valor. Ela também permite falar sobre a função inteira de uma vez (“f é crescente”) em vez de apenas sobre valores individuais.

Domínio: o conjunto de entradas permitidas

Toda função tem um domínio: o conjunto de valores de entrada que ela aceita. Para f(x) = x^2, qualquer número real é permitido, então o domínio é todos os números reais. Mas g(x) = sqrt(x) recusa entradas negativas — não há número real cujo quadrado seja negativo — então seu domínio é x ≥ 0.

Às vezes o domínio é restrito pela própria regra, e às vezes pela situação que a função modela. A função h(x) = 1/x exclui x = 0, porque divisão por zero é indefinida. E se uma função modela o preço de n maçãs, seu domínio natural pode ser os números de contagem 1, 2, 3, …, mesmo que a fórmula 2.5*n aceite tranquilamente entradas fracionárias. Ao trabalhar com uma função, saiba sempre quais entradas ela pode realmente receber.

Imagem: o conjunto de saídas produzidas

A imagem é o conjunto de valores de saída que a função realmente produz à medida que a entrada percorre o domínio. Para f(x) = x^2, elevar ao quadrado nunca dá um número negativo, e todo número não negativo aparece como algum quadrado (o quadrado de sua raiz quadrada). Assim, a imagem é todos os números y ≥ 0.

Domínio e imagem respondem a perguntas diferentes: o domínio pergunta “o que posso colocar?” e a imagem pergunta “o que pode sair?” Para f(x) = 2*x + 1, ambos são todos os números reais, porque dobrar e deslocar pode alcançar qualquer valor real. Para f(x) = sin(x), o domínio é todos os números reais, mas a imagem é apenas [−1, 1], já que a onda senoidal oscila entre −1 e 1 para sempre. Notar a imagem ajuda a ler um gráfico: é exatamente a extensão vertical da curva.

Lendo tudo isso a partir de um gráfico

Um gráfico mostra uma função diretamente: cada ponto (x, y) na curva diz f(x) = y. O domínio é a sombra da curva no eixo x — a extensão horizontal dos pontos que realmente aparecem. A imagem é a sombra no eixo y. Se a curva quebra ou para, essas quebras aparecem como lacunas no domínio.

Há também um teste rápido: o teste da reta vertical. Se toda reta vertical que você desenhar cruzar a curva no máximo uma vez, a curva representa uma função — porque cada x tem no máximo um y. Um círculo falha neste teste (uma reta vertical pelo seu centro o encontra duas vezes), e é por isso que um círculo completo não é o gráfico de uma única função. Tente digitar as expressões abaixo na calculadora gráfica, ajuste a janela de visualização e leia o domínio e a imagem de cada uma você mesmo.

Principais conclusões

• Uma função atribui exatamente uma saída a cada entrada — essa promessa de saída única é a propriedade definidora.
• f(x) é “f de x”: a saída de f na entrada x. A composição f(g(x)) encadeia duas regras.
• O domínio é o conjunto de entradas permitidas; divisão por zero e raízes quadradas de negativos são as restrições de domínio clássicas.
• A imagem é o conjunto de saídas que a função realmente produz — a extensão vertical do seu gráfico.
• O teste da reta vertical decide se uma curva é uma função: qualquer reta vertical pode cruzá-la no máximo uma vez.

Perguntas frequentes