Ejemplo resuelto
Curva de Lissajous: arte paramétrico con ondas senoidales
Antes de que los osciloscopios tuvieran pantallas digitales, los físicos estudiaban cocientes de frecuencias alimentando dos ondas senoidales a las placas horizontal y vertical de un tubo de rayos catódicos. Los patrones luminosos que trazaban —figuras de Lissajous— revelan el cociente de las dos frecuencias de un vistazo. Aquí, x = sin(3t) oscila tres veces por cada dos oscilaciones de y = cos(2t), tejiendo un nudo cerrado y simétrico.
Lo que hace imposible esta curva como gráfica regular y = f(x) es que falla la prueba de la recta vertical de forma estrepitosa: una sola x puede corresponder a muchos valores de y a medida que la curva se repliega sobre sí misma. Las ecuaciones paramétricas evitan esa limitación dando a x e y sus propias fórmulas en un parámetro compartido t —la misma idea que anima desde las manecillas de un reloj hasta las órbitas planetarias.
Expresiones graficadas
- x = sin(3*t), y = cos(2*t)
El enlace precarga estas expresiones exactas en la calculadora, sin necesidad de escribir.
Qué observar
- El cociente de frecuencias 3:2 determina el patrón: cuenta los lóbulos que tocan cada lado del cuadrado que la encierra.
- Cambia sin(3*t) por sin(4*t) para una figura 4:2 y compara la simetría.
- Como t recorre 2π completos, la curva se cierra perfectamente —acorta el rango de t y observa cómo se convierte en un arco abierto.