Exemple détaillé
Courbe de Lissajous : l’art paramétrique des ondes sinusoïdales
Avant que les oscilloscopes n’aient des écrans numériques, les physiciens étudiaient les rapports de fréquences en injectant deux ondes sinusoïdales dans les plaques horizontale et verticale d’un tube cathodique. Les motifs lumineux qu’ils traçaient — les figures de Lissajous — révèlent le rapport des deux fréquences d’un coup d’œil. Ici, x = sin(3t) oscille trois fois pour deux oscillations de y = cos(2t), tissant un nœud fermé et symétrique.
Ce qui rend cette courbe impossible comme graphe y = f(x) ordinaire, c’est qu’elle échoue spectaculairement au test de la droite verticale : un même x peut correspondre à de nombreux y quand la courbe reboucle sur elle-même. Les équations paramétriques contournent cette limite en donnant à x et y leurs propres formules dans un paramètre t partagé — la même idée qui anime tout, des aiguilles d’horloge aux orbites planétaires.
Expressions tracées
- x = sin(3*t), y = cos(2*t)
Le lien précharge exactement ces expressions dans la calculatrice — pas besoin de taper.
Ce qu’il faut remarquer
- Le rapport de fréquences 3:2 détermine le motif : comptez les lobes qui touchent chaque côté du carré englobant.
- Changez sin(3*t) en sin(4*t) pour une figure 4:2 et comparez la symétrie.
- Comme t parcourt un 2π complet, la courbe se referme parfaitement — raccourcissez la plage de t et regardez-la devenir un arc ouvert.