Biblioteca de funciones
Función coseno
f(x) = cos(x)
El hermano par del seno, con forma de onda: el coseno empieza en su pico y se repite cada 2π.
El coseno es la contraparte horizontal del seno: en el círculo unitario da la coordenada x del punto en el ángulo x, mientras que el seno da la coordenada y. Esa única diferencia moldea todo sobre su gráfica: empieza en su valor máximo de 1 cuando x = 0, baja a −1 en x = π y vuelve a 1 en x = 2π, trazando la misma onda suave que el seno pero desplazada un cuarto de vuelta. Como el seno, oscila eternamente entre −1 y 1 y se repite cada 2π radianes.
El coseno aparece donde algo se proyecta sobre un eje horizontal o parte de un máximo: la sombra de una rueda giratoria, el voltaje de un circuito de corriente alterna medido desde su pico, o la coordenada x de un movimiento circular uniforme. Como cos(x) = sin(x + π/2), todo lo que puedas decir de las ondas senoidales vale para las cosenoidales con un desfase: escribe cos(x) en la calculadora y arrastra la vista para verla repetirse.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para cos(x) .
- Raíces en [−10, 10]
- -7.8540, -4.7124, -1.5708, 1.5708, 4.7124, 7.8540
- Intersección con el eje y f(0)
- 1.0000
- Extremos locales en [−10, 10]
-
- local minimum at (-9.4248, -1.0000)
- local maximum at (-6.2832, 1.0000)
- local minimum at (-3.1416, -1.0000)
- local maximum at (0.0000, 1.0000)
- local minimum at (3.1416, -1.0000)
- local maximum at (6.2832, 1.0000)
- …y 1 más
- Valores de muestra
- f(-2) = -0.4161 · f(-1) = 0.5403 · f(0) = 1 · f(1) = 0.5403 · f(2) = -0.4161
- Derivada f′(1)
- -0.8415
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.8415
Datos clave
- Dominio: todos los números reales; rango: −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
- Período 2π: cos(x + 2π) = cos(x) para todo x.
- Función par: cos(−x) = cos(x); la gráfica es simétrica respecto al eje y.
- Ceros en x = π/2 + nπ; máximos de 1 en x = 2πn; mínimos de −1 en x = π + 2πn.
- Intersección con el eje y en (0, 1); la derivada es −sin(x); una antiderivada es sin(x).
Qué es el coseno
Imagina un punto que viaja en sentido antihorario por el círculo unitario, partiendo de (1, 0). En el ángulo x su posición es (cos x, sin x): el coseno registra lo lejos a la derecha o a la izquierda que está el punto. En x = 0 el punto está en el extremo derecho, así que cos(0) = 1, la intersección con el eje y de la gráfica. A medida que el ángulo crece, el punto se balancea a la izquierda y el coseno cae suavemente pasando por 0 en x = π/2 hasta −1 en x = π, el extremo izquierdo del círculo.
El coseno es una función par, cos(−x) = cos(x), así que su gráfica es una imagen especular respecto al eje y: el lado izquierdo refleja exactamente el derecho. Cruza el cero en x = π/2 + nπ, a medio camino entre cada pico y cada valle, y sus máximos de 1 ocurren en x = 2πn mientras que los mínimos de −1 ocurren en x = π + 2πn. La familiar forma de onda proviene de la misma geometría circular que el seno, vista de lado.
Coseno, seno y desfases
La identidad cos(x) = sin(x + π/2) dice que ambas funciones son una onda vista desde dos puntos de partida: el coseno es lo que el seno parece un cuarto de período antes. Esto importa al modelar oscilaciones reales, porque elegir entre seno y coseno es solo elegir cuándo pones en marcha tu reloj: un muelle soltado desde el reposo en su máxima elongación sigue un coseno en el tiempo, mientras que uno empujado pasando por el equilibrio sigue un seno.
Los desfases también explican sumas como sin(x) + cos(x): combinar dos ondas de la misma frecuencia siempre produce otra onda de esa frecuencia, aquí √2·sin(x + π/4), un hecho que se deduce de las fórmulas de suma de ángulos. En la calculadora, grafica sin(x) y cos(x) juntas y añade una tercera expresión sin(x) + cos(x) para ver cómo la suma sigue siendo una onda perfecta.
Dónde aparece el coseno
En física, el coseno describe cualquier oscilación medida desde su extremo: el movimiento armónico simple x(t) = A·cos(ωt) para una masa soltada desde el reposo, la parte real de la exponencial compleja e^(iθ) = cos θ + i·sin θ que sustenta el análisis de circuitos de corriente alterna y las funciones de onda cuánticas, y las funciones base pares de las series de Fourier. Cuando los ingenieros escriben una señal periódica como suma de cosenos, cada término captura la parte simétrica de la onda.
El coseno también aparece lejos de las ondas. El producto escalar de dos vectores es |a||b|cos θ, donde θ es el ángulo entre ellos, así que el coseno mide la alineación: 1 para paralelos, 0 para perpendiculares, −1 para opuestos. La ley de los cosenos, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo.
Preguntas frecuentes
¿El coseno es solo un seno desplazado?
Exactamente: cos(x) = sin(x + π/2), así que la gráfica del coseno es la del seno movida a la izquierda un cuarto de período. Comparten amplitud, período y rango; solo difiere el punto de partida. En el círculo unitario son las coordenadas x e y del mismo punto giratorio.
¿Por qué cos(0) = 1?
En el ángulo 0 el punto giratorio del círculo unitario está en (1, 0), el extremo derecho del círculo, así que su coordenada x —el coseno— es 1 y su coordenada y —el seno— es 0. Por eso la gráfica del coseno empieza en su pico.
¿Qué tiene que ver el coseno con el producto escalar?
La fórmula del producto escalar a·b = |a||b|cos θ usa el coseno del ángulo entre los vectores para medir cuánto apuntan en la misma dirección. El coseno vale 1 cuando son paralelos, 0 cuando son perpendiculares y −1 cuando son opuestos: actúa como una puntuación de alineación entre −1 y 1.