Biblioteca de funciones
Función seno
f(x) = sin(x)
La onda clásica de la trigonometría: una oscilación suave que se repite cada 2π.
La función seno es una de las curvas más reconocibles de todas las matemáticas: una onda suave y repetitiva que oscila eternamente entre −1 y 1. Definida originalmente con triángulos rectángulos —el seno de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa—, se extiende de forma natural a todos los números reales midiendo los ángulos en radianes alrededor del círculo unitario. En el círculo unitario, sin(x) es simplemente la coordenada y del punto alcanzado tras rotar x radianes desde el eje x positivo.
Como se repite cada 2π radianes, el seno es el prototipo de todo fenómeno periódico: la corriente alterna, las ondas sonoras, la luz, las mareas y la vibración de una cuerda de guitarra pueden describirse con ondas senoidales de distintas frecuencias y amplitudes. Escribe sin(x) en la calculadora gráfica para trazar la onda tú mismo; luego desplázala, estírala y combínala con otras expresiones para ver cómo se construyen las oscilaciones del mundo real a partir de esta única curva.
Propiedades calculadas
Calculado por el propio motor matemático de la calculadora gráfica al generar esta página para sin(x) .
- Raíces en [−10, 10]
- -9.4248, -6.2832, -3.1416, 0.0000, 3.1416, 6.2832, 9.4248
- Intersección con el eje y f(0)
- 0.0000
- Extremos locales en [−10, 10]
-
- local minimum at (-7.8540, -1.0000)
- local maximum at (-4.7124, 1.0000)
- local minimum at (-1.5708, -1.0000)
- local maximum at (1.5708, 1.0000)
- local minimum at (4.7124, -1.0000)
- local maximum at (7.8540, 1.0000)
- Valores de muestra
- f(-2) = -0.9093 · f(-1) = -0.8415 · f(0) = 0 · f(1) = 0.8415 · f(2) = 0.9093
- Derivada f′(1)
- 0.5403
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.4597
Datos clave
- Dominio: todos los números reales; rango: −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
- Período 2π: sin(x + 2π) = sin(x) para todo x.
- Función impar: sin(−x) = −sin(x); la gráfica tiene simetría rotacional de 180° sobre el origen.
- Ceros en x = nπ; máximos de 1 en x = π/2 + 2πn; mínimos de −1 en x = 3π/2 + 2πn.
- Intersección con el eje y en (0, 0); la derivada es cos(x); una antiderivada es −cos(x).
Qué es el seno
La definición con el círculo unitario es lo que permite al seno aceptar cualquier entrada real, no solo ángulos de un triángulo. Partiendo de (1, 0) y moviéndote en sentido antihorario por el círculo de radio 1, cada ángulo x cae en un punto cuya altura sobre el eje x es sin(x). Tras una vuelta completa de 2π radianes vuelves al punto de partida, y por eso la gráfica se repite: la historia de la función está escrita en la geometría del círculo.
Esa geometría también explica la simetría de la onda: el seno es una función impar, es decir sin(−x) = −sin(x), así que la mitad izquierda de la gráfica es la mitad derecha rotada 180° sobre el origen. La gráfica cruza el eje x en cada múltiplo de π, alcanza su pico de 1 en π/2 más cada vuelta completa, y toca fondo en −1 en 3π/2 más cada vuelta completa.
Amplitud, período y fase
Tres números describen cualquier onda senoidal: amplitud, período y fase. La amplitud es la altura de la onda: para sin(x) es 1, la distancia desde la línea media y = 0 hasta cada pico. Multiplicar por una constante, como en 3*sin(x), estira la onda verticalmente sin cambiar su forma, y así se modelan sonidos más fuertes y señales más intensas.
El período es la longitud horizontal de un ciclo completo: 2π para sin(x). Escribir sin(2*x) comprime dos ondas completas en el mismo tramo, reduciendo el período a la mitad (π) y duplicando la frecuencia: el tono de una nota una octava más alta. Añadir un desfase, sin(x − π/2), desplaza toda la onda lateralmente, y por eso el coseno es en secreto un seno desplazado: cos(x) = sin(x + π/2).
Dónde aparece el seno
Las ondas senoidales son los bloques de construcción del procesamiento de señales. Cualquier señal repetitiva —un tono musical, una emisión de radio, el zumbido de 50 o 60 Hz de la red eléctrica— puede descomponerse en una suma de ondas senoidales de distintas frecuencias, un hecho conocido como análisis de Fourier. Cuando dos ondas senoidales de frecuencias casi iguales se superponen, interfieren y producen pulsaciones, el efecto palpitante que oyes cuando dos instrumentos ligeramente desafinados tocan juntos.
Más allá de las señales, el seno rige el movimiento armónico simple: el vaivén de una masa en un muelle, la oscilación de un péndulo pequeño y el subir y bajar de una boya flotante siguen curvas sinusoidales en el tiempo. En geometría y física, el seno proyecta una cantidad giratoria sobre un eje: la posición vertical de la cabina de una noria a lo largo del tiempo traza exactamente sin(x).
Preguntas frecuentes
¿Por qué la gráfica del seno es una onda?
Porque el seno mide la altura en el círculo unitario mientras rotas. Dar la vuelta al círculo hace que la altura suba y baje suavemente y se repita en cada vuelta completa, así que la gráfica de la altura frente al ángulo es una onda. La onda es suave porque la rotación es continua: no hay esquinas ni saltos.
¿Cuál es la diferencia entre seno y coseno?
Son la misma onda desplazada lateralmente: cos(x) = sin(x + π/2). En el círculo unitario, el coseno es la coordenada x mientras que el seno es la coordenada y. El coseno empieza en su máximo, cos(0) = 1, mientras que el seno empieza en cero, sin(0) = 0.
¿sin(x) supera alguna vez el 1?
No: para x real, |sin(x)| ≤ 1 siempre. En el círculo unitario, la coordenada y nunca puede ser mayor en magnitud que el radio, que es 1. (El seno de números complejos sí puede superar 1 en magnitud, pero la gráfica real de la calculadora se mantiene dentro de [−1, 1].)