Integrales y el área bajo la curva

Una integral mide la cantidad acumulada

La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx mide la acumulación total de f entre a y b. Si f(x) es una razón —velocidad, lluvia por hora, euros por artículo—, entonces la integral de esa razón en un intervalo es la cantidad total: distancia total, lluvia total, costo total. La integración suma infinitas piezas infinitesimales, dx, cada una ponderada por f(x).

El retrato más directo es geométrico: cuando f(x) es positiva en [a, b], la integral equivale al área encerrada por la curva, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b. Cada aplicación de las integrales es alguna versión de esta idea —primero el área, en general la acumulación.

Área con signo: por qué el área puede ser negativa

Cuando la curva baja del eje x, la integral cuenta esa región como área negativa. La integral es área con signo: las regiones sobre el eje suman, las de debajo restan. Así ∫₀^{2π} sin(x) dx = 0, porque la joroba positiva de 0 a π y el valle negativo de π a 2π tienen áreas exactamente iguales y se cancelan.

Esta cancelación es una virtud, no un defecto: refleja física genuina. Si la velocidad es positiva en la primera mitad de un viaje y negativa en la segunda, la integral da el desplazamiento (cambio neto de posición), que puede ser cero aunque el cuentakilómetros haya acumulado distancia. Si quieres el área total sin importar el signo, integra |f(x)| o integra las partes positiva y negativa por separado.

El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo une integrales y derivadas como inversas. Si F es una antiderivada de f —es decir, F′(x) = f(x)—, entonces ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). En lugar de aproximar un área con miles de rectángulos, evalúas una sola función en dos puntos y restas.

Por eso las integrales se calculan simbólicamente cuando es posible: la antiderivada de 2*x es x^2, así que ∫₀³ 2*x dx = 3² − 0² = 9, y puedes verificar que esto equivale al área de un triángulo de base 3 y altura 6. El teorema convierte el problema difícil (sumar infinitas lonchas) en el problema fácil (evaluar una función dos veces).

Área entre dos curvas

Las integrales también miden el área atrapada entre dos curvas. Si g(x) ≤ h(x) en [a, b], la región entre ellas tiene área ∫ₐᵇ (h(x) − g(x)) dx. Restas la curva inferior de la superior, convirtiendo el hueco en un problema ordinario de área bajo una curva.

Por ejemplo, entre x = 0 y x = 1 la recta y = x está por encima de la curva y = x². El área entre ellas es ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6. Un error común es olvidar que las curvas pueden cruzarse: donde intercambian papeles, divide la integral en los puntos de cruce e integra |h(x) − g(x)|, o dejarás que el área con signo cancele regiones que deberían sumar.

Probar integrales en la calculadora

Elige cualquier expresión de abajo y usa las herramientas de integración de la calculadora para sombrear el área bajo la curva entre dos límites. Observa cómo la región sombreada cambia de signo cuando la curva cruza el eje —la herramienta informa el área con signo, así que una onda simétrica como sin(x) en un período completo da neto cero.

Luego prueba la relación con la antiderivada: grafica f(x) y su acumulación derivada de la integral juntas. Donde f es positiva, la curva acumulada sube; donde f es negativa, baja; donde f es cero, se nivela. Esa conexión —la derivada de la acumulación es la función original— es el teorema fundamental en forma visible.

Ideas clave

• La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx mide la cantidad acumulada —geométricamente, el área bajo la curva cuando f es positiva.
• Las integrales calculan área con signo: las regiones bajo el eje x cuentan como negativas y pueden cancelar las de arriba.
• El teorema fundamental del cálculo: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), donde F′ = f —derivación e integración se deshacen mutuamente.
• El área entre dos curvas es ∫ₐᵇ (superior − inferior) dx; divide la integral dondequiera que las curvas se crucen.
• Desplazamiento frente a distancia: la integral de la velocidad da el cambio neto; integrar el valor absoluto da la distancia total recorrida.

Preguntas frecuentes