Intégrales et aire sous une courbe

Une intégrale mesure une quantité accumulée

L’intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx mesure l’accumulation totale de f entre a et b. Si f(x) est un taux — vitesse, pluie par heure, euros par article — alors l’intégrale de ce taux sur un intervalle est la quantité totale : distance totale, pluie totale, coût total. L’intégration additionne une infinité de morceaux infinitésimaux, dx, chacun pondéré par f(x).

L’image la plus directe est géométrique : quand f(x) est positive sur [a, b], l’intégrale égale l’aire enfermée par la courbe, l’axe des x et les droites verticales x = a et x = b. Toute application des intégrales est une version de cette idée — l’aire d’abord, l’accumulation en général.

Aire signée : pourquoi une aire peut être négative

Quand la courbe plonge sous l’axe des x, l’intégrale compte cette région comme une aire négative. L’intégrale est une aire signée : les régions au-dessus de l’axe s’ajoutent, celles en dessous se soustraient. Ainsi ∫₀^{2π} sin(x) dx = 0, car la bosse positive de 0 à π et le creux négatif de π à 2π ont exactement la même aire et s’annulent.

Cette annulation est une fonctionnalité, pas un bogue : elle reflète une vraie physique. Si la vitesse est positive pendant la première moitié d’un trajet et négative pendant la seconde, l’intégrale donne le déplacement (la variation nette de position), qui peut être nul même si le compteur kilométrique a tourné. Si vous voulez l’aire totale sans tenir compte du signe, intégrez |f(x)| ou intégrez séparément les parties positive et négative.

Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral

Le théorème fondamental du calcul lie intégrales et dérivées comme des inverses. Si F est une primitive de f — c’est-à-dire F′(x) = f(x) — alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Au lieu d’approximer une aire avec des milliers de rectangles, vous évaluez une seule fonction en deux points et soustrayez.

Voilà pourquoi on calcule les intégrales symboliquement quand c’est possible : la primitive de 2*x est x^2, donc ∫₀³ 2*x dx = 3² − 0² = 9, et vous pouvez vérifier que cela égale l’aire d’un triangle de base 3 et de hauteur 6. Le théorème transforme le problème difficile (additionner une infinité de lamelles) en problème facile (évaluer une fonction deux fois).

Aire entre deux courbes

Les intégrales mesurent aussi l’aire coincée entre deux courbes. Si g(x) ≤ h(x) sur [a, b], la région entre elles a pour aire ∫ₐᵇ (h(x) − g(x)) dx. Vous soustrayez la courbe inférieure de la supérieure, ramenant l’écart à un problème ordinaire d’aire sous une courbe.

Par exemple, entre x = 0 et x = 1, la droite y = x se trouve au-dessus de la courbe y = x². L’aire entre elles vaut ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6. Une erreur fréquente est d’oublier que les courbes peuvent se croiser : là où elles échangent leurs rôles, découpez l’intégrale aux points de croisement et intégrez |h(x) − g(x)|, sinon l’aire signée annulera des régions qui devraient s’ajouter.

Essayer les intégrales dans la calculatrice

Choisissez une expression ci-dessous et utilisez les outils d’intégration de la calculatrice pour colorer l’aire sous la courbe entre deux bornes. Regardez comment la région coloriée change de signe quand la courbe traverse l’axe — l’outil rapporte une aire signée, donc une onde symétrique comme sin(x) sur une période complète donne un net de zéro.

Essayez ensuite la relation avec les primitives : tracez f(x) et son accumulation issue de l’intégrale ensemble. Là où f est positive, la courbe d’accumulation monte ; là où f est négative, elle descend ; là où f est nulle, elle se stabilise. Cette connexion — la dérivée de l’accumulation est la fonction d’origine — est le théorème fondamental rendu visible.

Points essentiels

• L’intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx mesure une quantité accumulée — géométriquement, l’aire sous la courbe quand f est positive.
• Les intégrales calculent une aire signée : les régions sous l’axe des x comptent négativement et peuvent annuler celles du dessus.
• Théorème fondamental : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), où F′ = f — dérivation et intégration se défont mutuellement.
• L’aire entre deux courbes vaut ∫ₐᵇ (courbe du haut − courbe du bas) dx ; découpez l’intégrale partout où les courbes se croisent.
• Déplacement vs distance : l’intégrale de la vitesse donne la variation nette ; intégrer la valeur absolue donne la distance totale parcourue.

Questions fréquentes