Bibliothèque de fonctions
Fonction sinus
f(x) = sin(x)
L’onde classique de la trigonométrie : une oscillation lisse qui se répète tous les 2π.
La fonction sinus est l’une des courbes les plus reconnaissables de toutes les mathématiques : une onde lisse et répétitive qui oscille éternellement entre −1 et 1. Définie à l’origine par les triangles rectangles — le sinus d’un angle est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse — elle s’étend naturellement à tous les nombres réels en mesurant les angles en radians autour du cercle trigonométrique. Sur le cercle unité, sin(x) est simplement l’ordonnée du point atteint après une rotation de x radians depuis l’axe des x positif.
Parce qu’elle se répète tous les 2π radians, le sinus est le prototype de tout phénomène périodique : courant alternatif, ondes sonores, lumière, marées et vibration d’une corde de guitare peuvent tous se décrire avec des ondes sinusoïdales de fréquences et d’amplitudes différentes. Tapez sin(x) dans la calculatrice graphique pour tracer l’onde vous-même, puis décalez-la, étirez-la et combinez-la avec d’autres expressions pour voir comment les oscillations du monde réel se construisent à partir de cette unique courbe.
Propriétés calculées
Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour sin(x) .
- Racines dans [−10, 10]
- -9.4248, -6.2832, -3.1416, 0.0000, 3.1416, 6.2832, 9.4248
- Intersection avec l’axe y f(0)
- 0.0000
- Extrémums locaux dans [−10, 10]
-
- local minimum at (-7.8540, -1.0000)
- local maximum at (-4.7124, 1.0000)
- local minimum at (-1.5708, -1.0000)
- local maximum at (1.5708, 1.0000)
- local minimum at (4.7124, -1.0000)
- local maximum at (7.8540, 1.0000)
- Valeurs échantillons
- f(-2) = -0.9093 · f(-1) = -0.8415 · f(0) = 0 · f(1) = 0.8415 · f(2) = 0.9093
- Dérivée f′(1)
- 0.5403
- Intégrale ∫₀¹ f(x) dx
- 0.4597
Faits essentiels
- Domaine : tous les réels ; ensemble d’arrivée : −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
- Période 2π : sin(x + 2π) = sin(x) pour tout x.
- Fonction impaire : sin(−x) = −sin(x) ; le graphe a une symétrie centrale de 180° autour de l’origine.
- Zéros en x = nπ ; maxima de 1 en x = π/2 + 2πn ; minima de −1 en x = 3π/2 + 2πn.
- Intersection avec l’axe y en (0, 0) ; la dérivée est cos(x) ; une primitive est −cos(x).
Ce qu’est le sinus
La définition par le cercle trigonométrique est ce qui permet au sinus d’accepter n’importe quelle entrée réelle, pas seulement des angles de triangle. En partant de (1, 0) et en parcourant dans le sens trigonométrique le cercle de rayon 1, chaque angle x aboutit à un point dont la hauteur au-dessus de l’axe des x est sin(x). Après un tour complet de 2π radians, on revient au point de départ : voilà pourquoi le graphe se répète — l’histoire de la fonction est inscrite dans la géométrie du cercle.
Cette géométrie explique aussi la symétrie de l’onde : le sinus est une fonction impaire, c’est-à-dire sin(−x) = −sin(x), donc la moitié gauche du graphe est la moitié droite pivotée de 180° autour de l’origine. Le graphe traverse l’axe des x à chaque multiple de π, atteint son sommet de 1 en π/2 plus chaque tour complet, et son creux de −1 en 3π/2 plus chaque tour complet.
Amplitude, période et phase
Trois nombres décrivent toute onde sinusoïdale : l’amplitude, la période et la phase. L’amplitude est la hauteur de l’onde — pour sin(x) tout court, elle vaut 1, la distance de la ligne médiane y = 0 à chaque sommet. Multiplier par une constante, comme dans 3*sin(x), étire l’onde verticalement sans changer sa forme : c’est ainsi qu’on modélise les sons plus forts et les signaux plus puissants.
La période est la longueur horizontale d’un cycle complet : 2π pour sin(x). Écrire sin(2*x) comprime deux ondes complètes dans le même intervalle, divisant la période par deux (π) et doublant la fréquence — la hauteur d’une note une octave plus haut. Ajouter un déphasage, sin(x − π/2), fait glisser toute l’onde latéralement : voilà pourquoi le cosinus est secrètement un sinus décalé, cos(x) = sin(x + π/2).
Où apparaît le sinus
Les ondes sinusoïdales sont les briques du traitement du signal. Tout signal répétitif — un ton musical, une émission radio, le ronronnement à 50 ou 60 Hz du secteur — peut se décomposer en une somme d’ondes sinusoïdales de fréquences différentes, un fait connu sous le nom d’analyse de Fourier. Quand deux ondes sinusoïdales de fréquences presque égales se superposent, elles interfèrent pour produire des battements, l’effet de pulsation qu’on entend quand deux instruments légèrement désaccordés jouent ensemble.
Au-delà des signaux, le sinus régit le mouvement harmonique simple : le va-et-vient d’une masse sur un ressort, le balancement d’un petit pendule et le haut-et-bas d’une bouée flottante suivent tous des courbes sinusoïdales en fonction du temps. En géométrie et en physique, le sinus projette une quantité tournante sur un axe — la position verticale d’une nacelle de grande roue au fil du temps trace exactement sin(x).
Questions fréquentes
Pourquoi le graphe du sinus est-il une onde ?
Parce que le sinus mesure la hauteur sur le cercle trigonométrique pendant qu’on tourne. Tourner autour du cercle fait monter et descendre la hauteur en douceur et la fait se répéter à chaque tour complet : le graphe de la hauteur en fonction de l’angle est donc une onde. L’onde est lisse parce que la rotation est continue — pas de coins ni de sauts.
Quelle est la différence entre sinus et cosinus ?
C’est la même onde décalée latéralement : cos(x) = sin(x + π/2). Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l’abscisse tandis que le sinus est l’ordonnée. Le cosinus part de son maximum, cos(0) = 1, tandis que le sinus part de zéro, sin(0) = 0.
Est-ce que sin(x) dépasse parfois 1 ?
Non — pour x réel, |sin(x)| ≤ 1 toujours. Sur le cercle unité, l’ordonnée ne peut jamais dépasser en magnitude le rayon, qui vaut 1. (Le sinus de nombres complexes peut dépasser 1 en magnitude, mais le graphe réel de la calculatrice reste dans [−1, 1].)