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Função Seno
f(x) = sin(x)
A onda clássica da trigonometria: uma oscilação suave que se repete a cada 2π.
A função seno é uma das curvas mais reconhecíveis de toda a matemática: uma onda suave e repetitiva que oscila para sempre entre −1 e 1. Definida originalmente por triângulos retângulos — o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa —, ela se estende naturalmente a todos os números reais ao medir ângulos em radianos ao redor do círculo unitário. No círculo unitário, sin(x) é simplesmente a coordenada y do ponto alcançado após girar x radianos a partir do eixo x positivo.
Como se repete a cada 2π radianos, o seno é o protótipo de todo fenômeno periódico: corrente alternada, ondas sonoras, luz, marés e a vibração da corda de um violão podem ser descritos com ondas senoidais de diferentes frequências e amplitudes. Digite sin(x) na calculadora gráfica para traçar a onda você mesmo e, em seguida, desloque-a, estique-a e combine-a com outras expressões para ver como as oscilações do mundo real são construídas a partir desta única curva.
Propriedades calculadas
Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para sin(x) .
- Raízes em [−10, 10]
- -9.4248, -6.2832, -3.1416, 0.0000, 3.1416, 6.2832, 9.4248
- Interseção com o eixo y f(0)
- 0.0000
- Extremos locais em [−10, 10]
-
- local minimum at (-7.8540, -1.0000)
- local maximum at (-4.7124, 1.0000)
- local minimum at (-1.5708, -1.0000)
- local maximum at (1.5708, 1.0000)
- local minimum at (4.7124, -1.0000)
- local maximum at (7.8540, 1.0000)
- Valores de amostra
- f(-2) = -0.9093 · f(-1) = -0.8415 · f(0) = 0 · f(1) = 0.8415 · f(2) = 0.9093
- Derivada f′(1)
- 0.5403
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.4597
Fatos principais
- Domínio: todos os números reais; imagem: −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
- Período 2π: sin(x + 2π) = sin(x) para todo x.
- Função ímpar: sin(−x) = −sin(x); o gráfico tem simetria rotacional de 180° em torno da origem.
- Zeros em x = nπ; máximos de 1 em x = π/2 + 2πn; mínimos de −1 em x = 3π/2 + 2πn.
- Interseção com o eixo y em (0, 0); a derivada é cos(x); uma primitiva é −cos(x).
O que é o seno
A definição pelo círculo unitário é o que permite ao seno aceitar qualquer entrada real, e não apenas ângulos de um triângulo. Partindo de (1, 0) e movendo-se no sentido anti-horário ao redor do círculo de raio 1, cada ângulo x chega a um ponto cuja altura acima do eixo x é sin(x). Após uma volta completa de 2π radianos, você retorna ao ponto de partida — é por isso que o gráfico se repete: a história da função está escrita na geometria do círculo.
Essa geometria também explica a simetria da onda: o seno é uma função ímpar, ou seja, sin(−x) = −sin(x), de modo que a metade esquerda do gráfico é a metade direita girada 180° em torno da origem. O gráfico cruza o eixo x em cada múltiplo de π, atinge seu pico de 1 em π/2 mais cada volta completa e chega ao mínimo de −1 em 3π/2 mais cada volta completa.
Amplitude, período e fase
Três números descrevem qualquer onda senoidal: amplitude, período e fase. A amplitude é a altura da onda — para o sin(x) puro, ela vale 1, a distância da linha média y = 0 até cada pico. Multiplicar por uma constante, como em 3*sin(x), estica a onda verticalmente sem mudar sua forma; é assim que sons mais altos e sinais mais fortes são modelados.
O período é o comprimento horizontal de um ciclo completo: 2π para sin(x). Escrever sin(2*x) comprime duas ondas completas no mesmo intervalo, reduzindo o período à metade (π) e dobrando a frequência — a altura de uma nota uma oitava acima. Adicionar um deslocamento de fase, sin(x − π/2), desliza toda a onda para o lado, e é por isso que o cosseno é secretamente um seno deslocado: cos(x) = sin(x + π/2).
Onde o seno aparece
As ondas senoidais são os blocos de construção do processamento de sinais. Qualquer sinal repetitivo — um tom musical, uma transmissão de rádio, o zumbido de 50 ou 60 Hz da rede elétrica — pode ser decomposto em uma soma de ondas senoidais de diferentes frequências, fato conhecido como análise de Fourier. Quando duas ondas senoidais de frequências quase iguais se sobrepõem, elas interferem e produzem batimentos, o efeito pulsante que você ouve quando dois instrumentos ligeiramente desafinados tocam juntos.
Além dos sinais, o seno governa o movimento harmônico simples: o vai e vem de uma massa presa a uma mola, o balanço de um pêndulo pequeno e o sobe e desce de uma boia flutuante seguem curvas senoidais no tempo. Na geometria e na física, o seno projeta uma grandeza giratória sobre um eixo — a posição vertical da cabine de uma roda-gigante ao longo do tempo traça exatamente sin(x).
Perguntas frequentes
Por que o gráfico do seno é uma onda?
Porque o seno mede a altura no círculo unitário à medida que você gira. Dar a volta no círculo faz a altura subir e descer suavemente e se repetir a cada volta completa, de modo que o gráfico da altura em função do ângulo é uma onda. A onda é suave porque a rotação é contínua — não há cantos nem saltos.
Qual é a diferença entre seno e cosseno?
Elas são a mesma onda deslocada lateralmente: cos(x) = sin(x + π/2). No círculo unitário, o cosseno é a coordenada x enquanto o seno é a coordenada y. O cosseno começa no seu máximo, cos(0) = 1, enquanto o seno começa em zero, sin(0) = 0.
sin(x) alguma vez passa de 1?
Não — para x real, |sin(x)| ≤ 1 sempre. No círculo unitário, a coordenada y nunca pode ser maior, em módulo, que o raio, que é 1. (O seno de números complexos pode exceder 1 em módulo, mas o gráfico real da calculadora permanece dentro de [−1, 1].)