Biblioteca de funções
Função Cosseno
f(x) = cos(x)
O par, em forma de onda, do seno — o cosseno começa no pico e se repete a cada 2π.
O cosseno é a contraparte horizontal do seno: no círculo unitário, ele fornece a coordenada x do ponto no ângulo x, enquanto o seno fornece a coordenada y. Essa única diferença molda tudo no seu gráfico — ele começa no valor máximo de 1 quando x = 0, desce até −1 em x = π e retorna a 1 em x = 2π, traçando a mesma onda suave do seno, mas deslocada um quarto de volta para o lado. Como o seno, oscila para sempre entre −1 e 1 e se repete a cada 2π radianos.
O cosseno aparece onde algo se projeta sobre um eixo horizontal ou parte de um máximo: a sombra de uma roda girando, a tensão de um circuito de corrente alternada medida a partir do pico ou a coordenada x de um movimento circular uniforme. Como cos(x) = sin(x + π/2), tudo o que se pode dizer sobre ondas senoidais vale para ondas cossenoidais com um deslocamento de fase — digite cos(x) na calculadora e arraste a janela de visualização para vê-lo se repetir.
Propriedades calculadas
Calculado pelo próprio motor matemático da calculadora gráfica em tempo de construção para cos(x) .
- Raízes em [−10, 10]
- -7.8540, -4.7124, -1.5708, 1.5708, 4.7124, 7.8540
- Interseção com o eixo y f(0)
- 1.0000
- Extremos locais em [−10, 10]
-
- local minimum at (-9.4248, -1.0000)
- local maximum at (-6.2832, 1.0000)
- local minimum at (-3.1416, -1.0000)
- local maximum at (0.0000, 1.0000)
- local minimum at (3.1416, -1.0000)
- local maximum at (6.2832, 1.0000)
- …e mais 1
- Valores de amostra
- f(-2) = -0.4161 · f(-1) = 0.5403 · f(0) = 1 · f(1) = 0.5403 · f(2) = -0.4161
- Derivada f′(1)
- -0.8415
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.8415
Fatos principais
- Domínio: todos os números reais; imagem: −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
- Período 2π: cos(x + 2π) = cos(x) para todo x.
- Função par: cos(−x) = cos(x); o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
- Zeros em x = π/2 + nπ; máximos de 1 em x = 2πn; mínimos de −1 em x = π + 2πn.
- Interseção com o eixo y em (0, 1); a derivada é −sin(x); uma primitiva é sin(x).
O que é o cosseno
Imagine um ponto viajando no sentido anti-horário ao redor do círculo unitário, começando em (1, 0). No ângulo x, sua posição é (cos x, sin x): o cosseno acompanha o quanto o ponto está à direita ou à esquerda. Em x = 0, o ponto está na extrema direita, então cos(0) = 1 — a interseção do gráfico com o eixo y. À medida que o ângulo cresce, o ponto balança para a esquerda, e o cosseno cai suavemente, passando por 0 em x = π/2 até chegar a −1 em x = π, a extrema esquerda do círculo.
O cosseno é uma função par, cos(−x) = cos(x), de modo que seu gráfico é uma imagem espelhada em relação ao eixo y: o lado esquerdo reflete exatamente o direito. Ele cruza o zero em x = π/2 + nπ, no meio do caminho entre cada pico e cada vale, e seus máximos de 1 ocorrem em x = 2πn, enquanto os mínimos de −1 ocorrem em x = π + 2πn. A forma familiar da onda vem da mesma geometria circular do seno, vista de lado.
Cosseno, seno e deslocamentos de fase
A identidade cos(x) = sin(x + π/2) diz que as duas funções são uma única onda vista de dois pontos de partida: o cosseno é o que o seno parece um quarto de período antes. Isso importa ao modelar oscilações reais, porque a escolha entre seno e cosseno é apenas uma escolha de quando você inicia o relógio — uma mola solta do repouso na extensão máxima segue um cosseno no tempo, enquanto uma empurrada passando pelo equilíbrio segue um seno.
Deslocamentos de fase também explicam somas como sin(x) + cos(x): combinar duas ondas da mesma frequência sempre produz outra onda dessa frequência, aqui √2·sin(x + π/4), fato que decorre das fórmulas de adição de arcos. Na calculadora, plote sin(x) e cos(x) juntos e adicione uma terceira expressão sin(x) + cos(x) para ver a soma permanecer uma onda perfeita.
Onde o cosseno aparece
Na física, o cosseno descreve qualquer oscilação medida a partir do seu extremo: o movimento harmônico simples x(t) = A·cos(ωt) para uma massa solta do repouso, a parte real da exponencial complexa e^(iθ) = cos θ + i·sin θ que sustenta a análise de circuitos de corrente alternada e as funções de onda quânticas, e as funções de base pares das séries de Fourier. Quando engenheiros escrevem um sinal periódico como soma de cossenos, cada termo captura a parte simétrica da onda.
O cosseno também aparece longe das ondas. O produto escalar de dois vetores é |a||b|cos θ, onde θ é o ângulo entre eles, de modo que o cosseno mede o alinhamento: 1 para paralelos, 0 para perpendiculares, −1 para opostos. A lei dos cossenos, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo.
Perguntas frequentes
O cosseno é apenas um seno deslocado?
Exatamente — cos(x) = sin(x + π/2), de modo que o gráfico do cosseno é o gráfico do seno movido para a esquerda em um quarto de período. Eles compartilham a mesma amplitude, período e imagem; apenas o ponto de partida difere. No círculo unitário, são as coordenadas x e y do mesmo ponto giratório.
Por que cos(0) = 1?
No ângulo 0, o ponto giratório no círculo unitário está em (1, 0), a extrema direita do círculo, de modo que sua coordenada x — o cosseno — é 1 e sua coordenada y — o seno — é 0. É também por isso que o gráfico do cosseno começa no seu pico.
O que o cosseno tem a ver com o produto escalar?
A fórmula do produto escalar a·b = |a||b|cos θ usa o cosseno do ângulo entre os vetores para medir o quanto eles apontam na mesma direção. O cosseno é 1 quando são paralelos, 0 quando perpendiculares e −1 quando opostos — funciona como uma nota de alinhamento entre −1 e 1.