Funktionsbibliothek
Kosinusfunktion
f(x) = cos(x)
Der gerade, wellenförmige Bruder des Sinus — der Kosinus startet an seinem Gipfel und wiederholt sich alle 2π.
Der Kosinus ist das horizontale Gegenstück zum Sinus: Auf dem Einheitskreis gibt er die x-Koordinate des Punkts beim Winkel x an, während der Sinus die y-Koordinate gibt. Dieser einzige Unterschied prägt alles an seinem Graphen — er startet bei seinem Maximalwert von 1, wenn x = 0, sinkt auf −1 bei x = π und kehrt bei x = 2π zu 1 zurück, wobei er dieselbe glatte Welle wie der Sinus zeichnet, aber eine Viertelumdrehung seitwärts verschoben. Wie der Sinus oszilliert er ewig zwischen −1 und 1 und wiederholt sich alle 2π Bogenmaß.
Der Kosinus zeigt sich überall dort, wo etwas auf eine horizontale Achse projiziert wird oder von einem Maximum startet: der Schatten eines rotierenden Rads, die Spannung in einem Wechselstromkreis gemessen von ihrem Gipfel, oder die x-Koordinate gleichförmiger Kreisbewegung. Weil cos(x) = sin(x + π/2), gilt alles, was man über Sinuswellen sagen kann, für Kosinuswellen mit einer Phasenverschiebung — geben Sie cos(x) in den Rechner ein und ziehen Sie die Ansicht, um ihn sich wiederholen zu sehen.
Berechnete Eigenschaften
Zur Build-Zeit von der eigenen Rechen-Engine des Grafikrechners berechnet für cos(x) .
- Nullstellen in [−10, 10]
- -7.8540, -4.7124, -1.5708, 1.5708, 4.7124, 7.8540
- y-Achsenabschnitt f(0)
- 1.0000
- Lokale Extremstellen in [−10, 10]
-
- local minimum at (-9.4248, -1.0000)
- local maximum at (-6.2832, 1.0000)
- local minimum at (-3.1416, -1.0000)
- local maximum at (0.0000, 1.0000)
- local minimum at (3.1416, -1.0000)
- local maximum at (6.2832, 1.0000)
- …und 1 weitere
- Stichprobenwerte
- f(-2) = -0.4161 · f(-1) = 0.5403 · f(0) = 1 · f(1) = 0.5403 · f(2) = -0.4161
- Ableitung f′(1)
- -0.8415
- Integral ∫₀¹ f(x) dx
- 0.8415
Wichtige Fakten
- Definitionsbereich: alle reellen Zahlen; Wertebereich: −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
- Periode 2π: cos(x + 2π) = cos(x) für jedes x.
- Gerade Funktion: cos(−x) = cos(x); der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
- Nullstellen bei x = π/2 + nπ; Maxima von 1 bei x = 2πn; Minima von −1 bei x = π + 2πn.
- y-Achsenabschnitt bei (0, 1); Ableitung ist −sin(x); eine Stammfunktion ist sin(x).
Was der Kosinus ist
Stellen Sie sich einen Punkt vor, der gegen den Uhrzeigersinn um den Einheitskreis wandert, beginnend bei (1, 0). Beim Winkel x ist seine Position (cos x, sin x): Der Kosinus verfolgt, wie weit rechts oder links der Punkt ist. Bei x = 0 sitzt der Punkt ganz rechts, also cos(0) = 1 — der y-Achsenabschnitt des Graphen. Wenn der Winkel wächst, schwingt der Punkt nach links, und der Kosinus fällt glatt durch 0 bei x = π/2 auf −1 bei x = π, ganz links am Kreis.
Der Kosinus ist eine gerade Funktion, cos(−x) = cos(x), sodass sein Graph ein Spiegelbild über die y-Achse ist: Die linke Seite spiegelt die rechte exakt. Er kreuzt null bei x = π/2 + nπ, auf halbem Weg zwischen jedem Gipfel und Tal, und seine Maxima von 1 treten bei x = 2πn auf, während Minima von −1 bei x = π + 2πn auftreten. Die vertraute Wellenform stammt aus derselben Kreisgeometrie wie beim Sinus, von der Seite betrachtet.
Kosinus, Sinus und Phasenverschiebungen
Die Identität cos(x) = sin(x + π/2) besagt, dass die beiden Funktionen eine Welle sind, gesehen von zwei Startpunkten: Der Kosinus ist das, wie der Sinus eine Viertelperiode früher aussieht. Das ist wichtig beim Modellieren realer Schwingungen, denn die Wahl zwischen Sinus und Kosinus ist nur eine Wahl des Startzeitpunkts Ihrer Uhr — eine Feder, die aus der Ruhelage bei maximaler Auslenkung losgelassen wird, folgt einer Kosinuskurve in der Zeit, während eine durch die Gleichgewichtslage gestoßene einem Sinus folgt.
Phasenverschiebungen erklären auch Summen wie sin(x) + cos(x): Das Kombinieren zweier Wellen derselben Frequenz erzeugt immer eine weitere Welle dieser Frequenz, hier √2·sin(x + π/4), eine Tatsache, die aus den Additionstheoremen folgt. Zeichnen Sie im Rechner sin(x) und cos(x) zusammen und fügen Sie einen dritten Ausdruck sin(x) + cos(x) hinzu, um zu sehen, wie die Summe eine perfekte Welle bleibt.
Wo der Kosinus vorkommt
In der Physik beschreibt der Kosinus jede Schwingung, gemessen von ihrem Extremum: einfache harmonische Schwingung x(t) = A·cos(ωt) für eine aus der Ruhelage losgelassene Masse, den Realteil der komplexen Exponentialfunktion e^(iθ) = cos θ + i·sin θ, die der Wechselstromkreis-Analyse und Quantenwellenfunktionen zugrunde liegt, und die geraden Basisfunktionen von Fourier-Reihen. Wenn Ingenieure ein periodisches Signal als Summe von Kosinusfunktionen schreiben, erfasst jeder Term den symmetrischen Anteil der Welle.
Der Kosinus erscheint auch fernab von Wellen. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist |a||b|cos θ, wobei θ der Winkel zwischen ihnen ist, sodass der Kosinus die Ausrichtung misst: 1 für parallel, 0 für senkrecht, −1 für entgegengesetzt. Der Kosinussatz, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), verallgemeinert Pythagoras auf jedes Dreieck.
Häufig gestellte Fragen
Ist der Kosinus nur ein verschobener Sinus?
Genau — cos(x) = sin(x + π/2), sodass der Kosinusgraph der um eine Viertelperiode nach links verschobene Sinusgraph ist. Sie teilen Amplitude, Periode und Wertebereich; nur der Startpunkt unterscheidet sich. Auf dem Einheitskreis sind sie die x- und y-Koordinaten desselben rotierenden Punkts.
Warum ist cos(0) = 1?
Beim Winkel 0 sitzt der rotierende Punkt auf dem Einheitskreis bei (1, 0), ganz rechts am Kreis, sodass seine x-Koordinate — der Kosinus — 1 ist und seine y-Koordinate — der Sinus — 0. Darum beginnt der Kosinusgraph an seinem Gipfel.
Was hat der Kosinus mit dem Skalarprodukt zu tun?
Die Skalarproduktformel a·b = |a||b|cos θ nutzt den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren, um zu messen, wie sehr sie in dieselbe Richtung zeigen. Der Kosinus ist 1, wenn sie parallel sind, 0 bei senkrecht und −1 bei entgegengesetzt — er wirkt also als Ausrichtungsmaß zwischen −1 und 1.