Was ist eine Funktion? Definitionsbereich, Wertebereich und Notation

Eine Funktion ist eine Regel mit einem Versprechen

Eine Funktion ist eine Regel, die jedem Eingabewert exakt einen Ausgabewert zuordnet. Das Wort „exakt“ leistet die ganze Arbeit: Eine Funktion darf niemals derselben Eingabe zwei verschiedene Ausgaben geben. Wenn Sie x = 2 hineingeben, liefert die Funktion eine Antwort zurück, und wenn Sie morgen wieder 2 hineingeben, erhalten Sie dieselbe Antwort. Mathematiker nennen diese Anforderung „wohldefiniert“, und sie trennt Funktionen von lockereren Beziehungen zwischen Größen.

Betrachten Sie f(x) = x^2. Die Eingabe 3 erzeugt die Ausgabe 9, und die Eingabe −3 erzeugt ebenfalls 9. Das ist in Ordnung — zwei verschiedene Eingaben dürfen eine Ausgabe teilen. Was nicht in Ordnung wäre: wenn die Regel der Eingabe 3 sowohl 9 als auch 10 zuordnete. Dann wäre die Regel überhaupt keine Funktion.

Die Notation f(x) und was sie bedeutet

Der Ausdruck f(x) wird „f von x“ gelesen und benennt die Ausgabe der Funktion f bei der Eingabe x. Der Buchstabe f ist nur ein Name; genauso gut könnten Sie g, h oder kostenVon verwenden. f(x) = 2*x + 1 zu schreiben heißt: Die Funktion f berechnet ihre Ausgabe, indem sie ihre Eingabe verdoppelt und eins addiert. Dann ist f(4) = 9, f(−1) = −1 und so weiter.

Diese Notation wird mächtig, wenn Sie Funktionen vergleichen. Wenn g(x) = x^2, dann ist f(g(2)) = f(4) = 9 — Sie haben die Ausgabe von g in f hineingefüttert. Funktionen so zu verketten heißt Komposition, und die Notation macht es leicht zu verfolgen, welche Regel auf welchen Wert angewendet wird. Sie lässt Sie auch über die ganze Funktion auf einmal sprechen („f ist steigend“) statt nur über einzelne Werte.

Definitionsbereich: die Menge der erlaubten Eingaben

Jede Funktion hat einen Definitionsbereich: die Menge der Eingabewerte, die sie akzeptiert. Für f(x) = x^2 ist jede reelle Zahl erlaubt, der Definitionsbereich ist also alle reellen Zahlen. Aber g(x) = sqrt(x) verweigert negative Eingaben — es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist — also ist ihr Definitionsbereich x ≥ 0.

Manchmal wird der Definitionsbereich durch die Regel selbst eingeschränkt, manchmal durch die Situation, die die Funktion modelliert. Die Funktion h(x) = 1/x schließt x = 0 aus, weil Division durch null undefiniert ist. Und wenn eine Funktion den Preis von n Äpfeln modelliert, könnte ihr natürlicher Definitionsbereich die Zählzahlen 1, 2, 3, … sein, obwohl die Formel 2.5*n gerne auch Bruchteile akzeptieren würde. Wenn Sie mit einer Funktion arbeiten, wissen Sie immer, welche Eingaben sie tatsächlich nehmen kann.

Wertebereich: die Menge der erzeugten Ausgaben

Der Wertebereich ist die Menge der Ausgabewerte, die die Funktion tatsächlich erzeugt, während die Eingabe den Definitionsbereich durchläuft. Für f(x) = x^2 gibt Quadrieren niemals eine negative Zahl, und jede nicht-negative Zahl erscheint als irgendein Quadrat (das Quadrat ihrer Quadratwurzel). Der Wertebereich ist also alle Zahlen y ≥ 0.

Definitionsbereich und Wertebereich beantworten verschiedene Fragen: Der Definitionsbereich fragt „was darf ich hineingeben?“, der Wertebereich „was kann herauskommen?“ Für f(x) = 2*x + 1 sind beide alle reellen Zahlen, weil Verdoppeln und Verschieben jeden reellen Wert erreichen kann. Für f(x) = sin(x) ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen, aber der Wertebereich nur [−1, 1], da die Sinuswelle ewig zwischen −1 und 1 oszilliert. Den Wertebereich zu beachten hilft, einen Graphen zu lesen: Er ist exakt die vertikale Ausdehnung der Kurve.

All das aus einem Graphen ablesen

Ein Graph zeigt eine Funktion direkt: Jeder Punkt (x, y) auf der Kurve sagt f(x) = y. Der Definitionsbereich ist der Schatten der Kurve auf der x-Achse — die horizontale Spanne der Punkte, die tatsächlich erscheinen. Der Wertebereich ist der Schatten auf der y-Achse. Wenn die Kurve bricht oder aufhört, erscheinen diese Brüche als Lücken im Definitionsbereich.

Es gibt auch einen schnellen Test: den Vertikallinientest. Wenn jede senkrechte Linie, die Sie zeichnen, die Kurve höchstens einmal kreuzt, stellt die Kurve eine Funktion dar — weil jedes x höchstens ein y hat. Ein Kreis besteht diesen Test nicht (eine senkrechte Linie durch seinen Mittelpunkt trifft ihn zweimal), darum ist ein voller Kreis nicht der Graph einer einzigen Funktion. Geben Sie die Ausdrücke unten in den Grafikrechner ein, passen Sie den Ansichtsausschnitt an und lesen Sie selbst Definitionsbereich und Wertebereich ab.

Wichtigste Erkenntnisse

• Eine Funktion ordnet jeder Eingabe exakt eine Ausgabe zu — dieses Eine-Ausgabe-Versprechen ist die definierende Eigenschaft.
• f(x) ist „f von x“: die Ausgabe von f bei Eingabe x. Komposition f(g(x)) verkettet zwei Regeln.
• Der Definitionsbereich ist die Menge der erlaubten Eingaben; Division durch null und Wurzeln aus Negativen sind die klassischen Einschränkungen.
• Der Wertebereich ist die Menge der Ausgaben, die die Funktion tatsächlich erzeugt — die vertikale Ausdehnung ihres Graphen.
• Der Vertikallinientest entscheidet, ob eine Kurve eine Funktion ist: Jede senkrechte Linie darf sie höchstens einmal kreuzen.

Häufig gestellte Fragen