Qu’est-ce qu’une fonction ? Domaine, ensemble d’arrivée et notation

Une fonction est une règle assortie d’une promesse

Une fonction est une règle qui prend chaque valeur d’entrée et lui attribue exactement une valeur de sortie. Ce mot « exactement » fait tout le travail : une fonction ne peut jamais attribuer deux sorties différentes à la même entrée. Si vous entrez x = 2, la fonction vous rend une réponse, et si vous entrez 2 à nouveau demain, vous obtenez la même réponse. Les mathématiciens appellent cette exigence le caractère « bien défini », et c’est ce qui sépare les fonctions des relations plus lâches entre grandeurs.

Prenez f(x) = x^2. L’entrée 3 produit la sortie 9, et l’entrée −3 produit aussi 9. C’est parfaitement acceptable — deux entrées différentes peuvent partager une sortie. Ce qui ne serait pas acceptable, c’est que la règle attribue à la fois 9 et 10 à l’entrée 3. Alors la règle ne serait plus du tout une fonction.

La notation f(x) et ce qu’elle signifie

L’expression f(x) se lit « f de x » et nomme la sortie de la fonction f quand l’entrée vaut x. La lettre f n’est qu’un nom ; vous pourriez tout aussi bien utiliser g, h ou coutDe. Écrire f(x) = 2*x + 1 signifie : la fonction f calcule sa sortie en doublant son entrée et en ajoutant un. Alors f(4) = 9, f(−1) = −1, et ainsi de suite.

Cette notation devient puissante quand on compare des fonctions. Si g(x) = x^2, alors f(g(2)) = f(4) = 9 — vous avez injecté la sortie de g dans f. Enchaîner ainsi des fonctions s’appelle la composition, et la notation permet de suivre exactement quelle règle s’applique à quelle valeur. Elle permet aussi de parler de la fonction entière d’un coup (« f est croissante ») plutôt que de valeurs isolées.

Domaine : l’ensemble des entrées autorisées

Toute fonction a un domaine : l’ensemble des valeurs d’entrée qu’elle accepte. Pour f(x) = x^2, tout nombre réel est autorisé, donc le domaine est l’ensemble des réels. Mais g(x) = sqrt(x) refuse les entrées négatives — aucun réel n’a un carré négatif — donc son domaine est x ≥ 0.

Parfois le domaine est restreint par la règle elle-même, parfois par la situation modélisée. La fonction h(x) = 1/x exclut x = 0, car la division par zéro est indéfinie. Et si une fonction modélise le prix de n pommes, son domaine naturel pourrait être les entiers 1, 2, 3, …, même si la formule 2.5*n accepterait volontiers des entrées fractionnaires. Quand vous travaillez avec une fonction, sachez toujours quelles entrées elle peut réellement prendre.

Ensemble d’arrivée : l’ensemble des sorties produites

L’ensemble d’arrivée (ou image) est l’ensemble des valeurs de sortie que la fonction produit réellement quand l’entrée parcourt le domaine. Pour f(x) = x^2, élever au carré ne donne jamais un nombre négatif, et tout nombre non négatif apparaît comme un carré (le carré de sa racine carrée). L’ensemble d’arrivée est donc l’ensemble des nombres y ≥ 0.

Domaine et ensemble d’arrivée répondent à des questions différentes : le domaine demande « que puis-je entrer ? » et l’ensemble d’arrivée demande « que peut-il sortir ? » Pour f(x) = 2*x + 1, les deux sont l’ensemble des réels, car doubler puis décaler peut atteindre n’importe quelle valeur réelle. Pour f(x) = sin(x), le domaine est l’ensemble des réels mais l’ensemble d’arrivée n’est que [−1, 1], puisque l’onde sinusoïdale oscille entre −1 et 1 pour toujours. Remarquer l’ensemble d’arrivée aide à lire un graphe : c’est exactement l’étendue verticale de la courbe.

Tout cela lu sur un graphe

Un graphe montre directement une fonction : chaque point (x, y) de la courbe dit f(x) = y. Le domaine est l’ombre de la courbe sur l’axe des x — l’étendue horizontale des points qui apparaissent réellement. L’ensemble d’arrivée est l’ombre sur l’axe des y. Si la courbe se brise ou s’arrête, ces ruptures apparaissent comme des trous dans le domaine.

Il existe aussi un test rapide : le test de la droite verticale. Si chaque droite verticale que vous tracez coupe la courbe au plus une fois, la courbe représente une fonction — car chaque x a au plus un y. Un cercle échoue à ce test (une droite verticale passant par son centre le rencontre deux fois), voilà pourquoi un cercle complet n’est pas le graphe d’une seule fonction. Essayez d’entrer les expressions ci-dessous dans la calculatrice graphique, ajustez la fenêtre d’affichage et lisez vous-même chaque domaine et chaque ensemble d’arrivée.

Points essentiels

• Une fonction attribue exactement une sortie à chaque entrée — cette promesse de sortie unique est sa propriété définissante.
• f(x) se lit « f de x » : la sortie de f à l’entrée x. La composition f(g(x)) enchaîne deux règles.
• Le domaine est l’ensemble des entrées autorisées ; la division par zéro et les racines carrées de négatifs sont les restrictions classiques.
• L’ensemble d’arrivée est l’ensemble des sorties réellement produites — l’étendue verticale de son graphe.
• Le test de la droite verticale décide si une courbe est une fonction : toute droite verticale la coupe au plus une fois.

Questions fréquentes