Bibliothèque de fonctions

Fonction cosinus

f(x) = cos(x)

Le jumeau pair et ondulé du sinus — le cosinus part de son sommet et se répète tous les 2π.

Le cosinus est le pendant horizontal du sinus : sur le cercle trigonométrique, il donne l’abscisse du point d’angle x, tandis que le sinus donne l’ordonnée. Cette seule différence façonne tout son graphe — il part de sa valeur maximale de 1 quand x = 0, descend à −1 en x = π, et revient à 1 en x = 2π, traçant la même onde lisse que le sinus mais décalée d’un quart de tour latéralement. Comme le sinus, il oscille éternellement entre −1 et 1 et se répète tous les 2π radians.

Le cosinus apparaît partout où quelque chose se projette sur un axe horizontal ou part d’un maximum : l’ombre d’une roue qui tourne, la tension d’un circuit en courant alternatif mesurée depuis son pic, ou l’abscisse d’un mouvement circulaire uniforme. Parce que cos(x) = sin(x + π/2), tout ce qu’on peut dire des ondes sinusoïdales s’applique aux ondes cosinusoïdales avec un déphasage — tapez cos(x) dans la calculatrice et faites défiler la vue pour le voir se répéter.

Propriétés calculées

Calculé par le moteur mathématique propre à la calculatrice graphique au moment de la compilation pour cos(x) .

Racines dans [−10, 10]: -7.8540, -4.7124, -1.5708, 1.5708, 4.7124, 7.8540
Intersection avec l’axe y f(0): 1.0000
Extrémums locaux dans [−10, 10]: local minimum at (-9.4248, -1.0000)
local maximum at (-6.2832, 1.0000)
local minimum at (-3.1416, -1.0000)
local maximum at (0.0000, 1.0000)
local minimum at (3.1416, -1.0000)
local maximum at (6.2832, 1.0000)

…et 1 de plus
Valeurs échantillons: f(-2) = -0.4161 · f(-1) = 0.5403 · f(0) = 1 · f(1) = 0.5403 · f(2) = -0.4161
Dérivée f′(1): -0.8415
Intégrale ∫₀¹ f(x) dx: 0.8415

Faits essentiels

Domaine : tous les réels ; ensemble d’arrivée : −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
Période 2π : cos(x + 2π) = cos(x) pour tout x.
Fonction paire : cos(−x) = cos(x) ; le graphe est symétrique par rapport à l’axe des y.
Zéros en x = π/2 + nπ ; maxima de 1 en x = 2πn ; minima de −1 en x = π + 2πn.
Intersection avec l’axe y en (0, 1) ; la dérivée est −sin(x) ; une primitive est sin(x).

Ce qu’est le cosinus

Imaginez un point parcourant dans le sens trigonométrique le cercle unité, en partant de (1, 0). À l’angle x, sa position est (cos x, sin x) : le cosinus suit l’éloignement du point vers la droite ou la gauche. En x = 0, le point est à l’extrême droite, donc cos(0) = 1 — l’ordonnée à l’origine du graphe. À mesure que l’angle grandit, le point bascule vers la gauche, et le cosinus descend en douceur en passant par 0 en x = π/2 jusqu’à −1 en x = π, l’extrême gauche du cercle.

Le cosinus est une fonction paire, cos(−x) = cos(x) : son graphe est donc une image miroir par rapport à l’axe des y, la gauche reflétant exactement la droite. Il s’annule en x = π/2 + nπ, à mi-chemin entre chaque pic et chaque creux, et ses maxima de 1 se produisent en x = 2πn tandis que ses minima de −1 se produisent en x = π + 2πn. La forme d’onde familière vient de la même géométrie circulaire que le sinus, vue de côté.

Cosinus, sinus et déphasages

L’identité cos(x) = sin(x + π/2) dit que les deux fonctions sont une seule onde vue depuis deux points de départ : le cosinus est ce à quoi ressemble le sinus un quart de période plus tôt. Cela compte quand on modélise des oscillations réelles, car le choix entre sinus et cosinus n’est qu’un choix du moment où l’on démarre l’horloge — un ressort lâché au repos depuis son étirement maximal suit un cosinus en fonction du temps, tandis qu’un ressort poussé à travers l’équilibre suit un sinus.

Les déphasages expliquent aussi les sommes comme sin(x) + cos(x) : combiner deux ondes de même fréquence produit toujours une autre onde de cette fréquence, ici √2·sin(x + π/4), un fait qui découle des formules d’addition d’angles. Dans la calculatrice, tracez sin(x) et cos(x) ensemble et ajoutez une troisième expression sin(x) + cos(x) pour voir la somme rester une onde parfaite.

Où apparaît le cosinus

En physique, le cosinus décrit toute oscillation mesurée depuis son extrême : le mouvement harmonique simple x(t) = A·cos(ωt) pour une masse lâchée au repos, la partie réelle de l’exponentielle complexe e^(iθ) = cos θ + i·sin θ qui sous-tend l’analyse des circuits en courant alternatif et les fonctions d’onde quantiques, et les fonctions de base paires des séries de Fourier. Quand les ingénieurs écrivent un signal périodique comme une somme de cosinus, chaque terme capture la partie symétrique de l’onde.

Le cosinus apparaît aussi loin des ondes. Le produit scalaire de deux vecteurs vaut |a||b|cos θ, où θ est l’angle entre eux : le cosinus mesure donc l’alignement, 1 pour parallèles, 0 pour perpendiculaires, −1 pour opposés. La loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), généralise Pythagore à tout triangle.

Tracer f(x) = cos(x) dans la calculatrice

Questions fréquentes

Le cosinus est-il juste un sinus décalé ?

Exactement — cos(x) = sin(x + π/2) : le graphe du cosinus est donc celui du sinus déplacé vers la gauche d’un quart de période. Ils partagent la même amplitude, la même période et le même ensemble d’arrivée ; seul le point de départ diffère. Sur le cercle trigonométrique, ce sont l’abscisse et l’ordonnée du même point tournant.

Pourquoi cos(0) = 1 ?

À l’angle 0, le point tournant sur le cercle unité se trouve en (1, 0), l’extrême droite du cercle : son abscisse — le cosinus — vaut donc 1 et son ordonnée — le sinus — vaut 0. C’est aussi pourquoi le graphe du cosinus commence à son sommet.

Quel est le rapport entre le cosinus et le produit scalaire ?

La formule du produit scalaire a·b = |a||b|cos θ utilise le cosinus de l’angle entre les vecteurs pour mesurer à quel point ils pointent dans la même direction. Le cosinus vaut 1 quand ils sont parallèles, 0 quand ils sont perpendiculaires et −1 quand ils sont opposés : il agit comme un score d’alignement entre −1 et 1.