Tracciare disequazioni in due variabili

Dalle equazioni alle disequazioni

L’equazione y = x^2 disegna una singola curva: la parabola. La disequazione y > x^2 chiede qualcosa di più grande — ogni punto (x, y) la cui coordinata y sta sopra la parabola. Invece di una curva, la soluzione è un’intera regione: l’area infinita che si estende sopra la curva. Tracciare una disequazione significa disegnare la frontiera e ombreggiare il lato che la soddisfa.

Questo passaggio dalla curva alla regione è l’intero salto concettuale. Un’equazione in due variabili descrive tipicamente una curva unidimensionale; una disequazione descrive una regione bidimensionale il cui bordo è quella curva. Ogni punto che provi appartiene alla regione oppure no, e la curva di frontiera è dove vale l’uguaglianza.

Curve di frontiera: tratteggiate o continue

Il primo passo è tracciare la frontiera — l’equazione che ottieni sostituendo il segno di disequazione con =. Per y ≥ x^2 la frontiera è la parabola y = x^2, e si disegna continua perché i suoi punti soddisfano la disequazione: la frontiera è inclusa nella soluzione.

Per le disequazioni strette (< o >), la frontiera si disegna tratteggiata, perché i punti sulla curva non soddisfano la disequazione. y > x^2 e y ≥ x^2 differiscono solo sulla parabola stessa, eppure quella differenza spessa un punto conta nei problemi di ottimizzazione, dove un ottimo esattamente su una frontiera stretta è irraggiungibile. La calcolatrice segue questa convenzione: tratteggiata per le strette, continua per le non strette.

Ombreggiatura e metodo del punto di prova

Una volta disegnata la frontiera, essa divide il piano in regioni (di solito due). Scegli un punto qualsiasi non sulla frontiera — un punto di prova — inseriscilo nella disequazione e vedi se l’affermazione è vera. Se lo è, ombreggia l’intera regione di quel punto; altrimenti ombreggia l’altro lato.

Per y > x^2, l’origine (0, 0) è un comodo punto di prova — aspetta, sta sulla frontiera. Scegli invece (0, 1): 1 > 0 è vero, quindi ombreggia la regione sopra la parabola che contiene (0, 1). Un’abitudine sicura: verifica sempre che il punto di prova non sia sulla frontiera prima di fidarti del risultato, e ricontrolla con un secondo punto nella regione ombreggiata se la disequazione è complicata.

Sistemi di disequazioni e regioni ammissibili

I problemi reali di solito coinvolgono più disequazioni alla volta — un sistema. La soluzione è l’insieme dei punti che le soddisfano tutte simultaneamente: l’intersezione delle singole regioni ombreggiate. Ogni nuova disequazione può solo restringere la soluzione, mai allargarla, perché i punti devono ora superare un test in più.

Questo è il cuore geometrico della programmazione lineare: vincoli come x ≥ 0, y ≥ 0 e 2*x + 3*y ≤ 12 ritagliano una regione ammissibile poligonale, e l’ottimo di un obiettivo lineare sta sempre in uno dei suoi vertici. Ombreggia ciascuna disequazione a turno, conserva solo la sovrapposizione, e la regione ammissibile che resta è dove tutti i vincoli valgono insieme. Prova y ≤ x^2 e y ≥ −x insieme per vedere un’intersezione a forma di lente delimitata da due curve.

Leggere un grafico ombreggiato

Un grafico di disequazione finito comunica tre cose: la frontiera (con il suo significato tratteggiato/continuo), la regione di soluzione ombreggiata e implicitamente tutto ciò fuori dall’ombreggiatura che non va bene. Quando leggi un grafico del genere, identifica prima la curva di frontiera e la sua rigidità, poi conferma che l’ombreggiatura corrisponda a un rapido punto di prova mentale.

Errori comuni: dimenticare che il lato non ombreggiato è escluso (non “sconosciuto”), scambiare una frontiera tratteggiata per una inclusa e, per i sistemi, ombreggiare ciascuna disequazione senza mai prendere l’intersezione. Inserisci le espressioni qui sotto, alterna le forme strette e non strette e osserva come cambiano ombreggiatura e stile della frontiera mentre il significato della regione cambia di esattamente la curva di frontiera.

Punti chiave

• Una disequazione in due variabili descrive una regione del piano; il suo bordo è la curva di frontiera dove vale l’uguaglianza.
• Disegna la frontiera tratteggiata per le disequazioni strette (<, >) e continua quando la frontiera è inclusa (≤, ≥).
• Usa un punto di prova fuori dalla frontiera per decidere quale lato ombreggiare; ricontrolla con un secondo punto nei casi complessi.
• La soluzione di un sistema di disequazioni è l’intersezione delle singole regioni — ogni vincolo può solo restringerla.
• Nella programmazione lineare, i vertici della regione ammissibile sono dove deve trovarsi l’ottimo di un obiettivo lineare.

Domande frequenti