Tracer des inégalités à deux variables

Des équations aux inégalités

L’équation y = x^2 dessine une seule courbe : la parabole. L’inégalité y > x^2 demande quelque chose de plus grand — chaque point (x, y) dont l’ordonnée se trouve au-dessus de la parabole. Au lieu d’une courbe, la solution est une région entière : l’aire infinie balayée au-dessus de la courbe. Tracer une inégalité, c’est dessiner la frontière et hachurer le côté qui la vérifie.

Ce passage de la courbe à la région est tout le saut conceptuel. Une équation à deux variables décrit typiquement une courbe unidimensionnelle ; une inégalité décrit une région bidimensionnelle dont le bord est cette courbe. Chaque point testé appartient à la région ou non, et la courbe frontière est l’endroit où l’égalité est vérifiée.

Courbes frontières : pointillés vs traits pleins

La première étape est de tracer la frontière — l’équation obtenue en remplaçant le signe d’inégalité par =. Pour y ≥ x^2, la frontière est la parabole y = x^2, tracée en trait plein car ses points vérifient l’inégalité : la frontière est incluse dans la solution.

Pour les inégalités strictes (< ou >), la frontière se trace en pointillés, car les points de la courbe elle-même ne vérifient pas l’inégalité. y > x^2 et y ≥ x^2 ne diffèrent qu’au niveau de la parabole elle-même, et pourtant cette différence d’une épaisseur d’un point compte dans les problèmes d’optimisation, où un optimum situé exactement sur une frontière stricte est inatteignable. La calculatrice suit cette convention : pointillés pour strict, trait plein pour non strict.

Hachures et méthode du point de test

Une fois la frontière tracée, elle divise le plan en régions (généralement deux). Choisissez n’importe quel point hors de la frontière — un point de test — injectez-le dans l’inégalité et regardez si l’énoncé est vrai. Si oui, hachurez toute la région de ce point ; sinon, hachurez l’autre côté.

Pour y > x^2, l’origine (0, 0) est un point de test commode — attendez, elle est sur la frontière. Choisissez plutôt (0, 1) : 1 > 0 est vrai, donc hachurez la région au-dessus de la parabole contenant (0, 1). Une bonne habitude : vérifiez toujours que votre point de test n’est pas sur la frontière avant de faire confiance au résultat, et contrôlez avec un second point dans la région hachurée si l’inégalité est compliquée.

Systèmes d’inégalités et régions admissibles

Les vrais problèmes impliquent généralement plusieurs inégalités à la fois — un système. La solution est l’ensemble des points qui les vérifient toutes simultanément : l’intersection des régions hachurées individuelles. Chaque nouvelle inégalité ne peut que rétrécir la solution, jamais l’agrandir, car les points doivent désormais passer un test de plus.

C’est le cœur géométrique de la programmation linéaire : des contraintes comme x ≥ 0, y ≥ 0 et 2*x + 3*y ≤ 12 découpent une région admissible polygonale, et l’optimum d’un objectif linéaire se trouve toujours à l’un de ses coins. Hachurez chaque inégalité à tour de rôle, ne gardez que le chevauchement, et la région admissible restante est l’endroit où toutes les contraintes sont vérifiées à la fois. Essayez y ≤ x^2 et y ≥ −x ensemble pour voir une intersection en forme de lentille bordée par deux courbes.

Lire un graphe hachuré

Un graphe d’inégalité terminé communique trois choses : la frontière (avec son sens pointillé/plein), la région solution hachurée, et implicitement tout ce qui, hors des hachures, échoue. Quand vous lisez un tel graphe, identifiez d’abord la courbe frontière et sa stricte inclusion, puis confirmez les hachures avec un rapide point de test mental.

Erreurs de lecture fréquentes : oublier que le côté non hachuré est exclu (et non « inconnu »), prendre une frontière en pointillés pour une frontière incluse, et pour les systèmes, hachurer chaque inégalité sans jamais prendre l’intersection. Entrez les expressions ci-dessous, basculez entre formes strictes et non strictes, et regardez comment les hachures et le style de frontière changent tandis que le sens de la région ne bouge que d’exactement la courbe frontière.

Points essentiels

• Une inégalité à deux variables décrit une région du plan ; son bord est la courbe frontière où l’égalité est vérifiée.
• Tracez la frontière en pointillés pour les inégalités strictes (<, >) et en trait plein quand la frontière est incluse (≤, ≥).
• Utilisez un point de test hors de la frontière pour décider quel côté hachurer ; recontrôlez avec un second point dans les cas complexes.
• La solution d’un système d’inégalités est l’intersection des régions individuelles — chaque contrainte ne peut que la rétrécir.
• En programmation linéaire, les coins de la région admissible sont là où l’optimum d’un objectif linéaire doit se trouver.

Questions fréquentes