Graficando Inequações em Duas Variáveis

De equações para inequações

A equação y = x^2 desenha uma única curva: a parábola. A inequação y > x^2 pede algo maior — todo ponto (x, y) cuja coordenada y está acima da parábola. Em vez de uma curva, a solução é uma região inteira: a área infinita varrida acima da curva. Graficar uma inequação significa desenhar a fronteira e sombrear o lado que a satisfaz.

Essa mudança de curva para região é todo o passo conceitual. Uma equação em duas variáveis normalmente descreve uma curva unidimensional; uma inequação descreve uma região bidimensional cuja borda é essa curva. Cada ponto que você testa ou pertence à região ou não, e a curva de fronteira é onde a igualdade vale.

Curvas de fronteira: tracejadas vs. contínuas

O primeiro passo é graficar a fronteira — a equação que você obtém ao trocar o sinal de inequação por =. Para y ≥ x^2, a fronteira é a parábola y = x^2, e ela é desenhada contínua porque seus pontos satisfazem a inequação: a fronteira está incluída na solução.

Para inequações estritas (< ou >), a fronteira é desenhada tracejada, porque pontos na própria curva não satisfazem a inequação. y > x^2 e y ≥ x^2 diferem apenas na própria parábola, mas essa diferença de um ponto de espessura importa em problemas de otimização, onde um ótimo situado exatamente em uma fronteira estrita é inatingível. A calculadora segue essa convenção: tracejada para estrita, contínua para não estrita.

Sombreamento e o método do ponto de teste

Uma vez desenhada a fronteira, ela divide o plano em regiões (geralmente duas). Escolha qualquer ponto fora da fronteira — um ponto de teste — coloque-o na inequação e veja se a afirmação é verdadeira. Se for, sombreie toda a região desse ponto; se não, sombreie o outro lado.

Para y > x^2, a origem (0, 0) é um ponto de teste conveniente — espera, ela está na fronteira. Escolha (0, 1): 1 > 0 é verdadeiro, então sombreie a região acima da parábola contendo (0, 1). Um hábito seguro: sempre verifique se seu ponto de teste não está na fronteira antes de confiar no resultado, e confira com um segundo ponto na região sombreada se a inequação for complicada.

Sistemas de inequações e regiões viáveis

Problemas reais geralmente envolvem várias inequações de uma vez — um sistema. A solução é o conjunto de pontos que satisfazem todas elas simultaneamente: a interseção das regiões sombreadas individuais. Cada nova inequação só pode encolher a solução, nunca aumentá-la, porque os pontos agora precisam passar em mais um teste.

Este é o coração geométrico da programação linear: restrições como x ≥ 0, y ≥ 0 e 2*x + 3*y ≤ 12 esculpem uma região viável poligonal, e o ótimo de um objetivo linear sempre fica em um de seus cantos. Sombreie cada inequação por vez, mantenha apenas a sobreposição, e a região viável que resta é onde todas as restrições valem ao mesmo tempo. Tente y ≤ x^2 e y ≥ −x juntas para ver uma interseção em forma de lente delimitada por duas curvas.

Lendo um gráfico sombreado

Um gráfico de inequação pronto comunica três coisas: a fronteira (com seu significado tracejado/contínuo), a região sombreada da solução e, implicitamente, tudo fora do sombreamento que falha. Ao ler tal gráfico, primeiro identifique a curva de fronteira e sua estritude, depois confirme que o sombreamento corresponde a um rápido ponto de teste mental.

Leituras erradas comuns: esquecer que o lado não sombreado está excluído (não “desconhecido”), confundir uma fronteira tracejada com uma incluída e, em sistemas, sombrear cada inequação sem nunca tomar a interseção. Digite as expressões abaixo, alterne entre formas estritas e não estritas e observe como o sombreamento e o estilo da fronteira mudam enquanto o significado da região muda exatamente na curva de fronteira.

Principais conclusões

• Uma inequação em duas variáveis descreve uma região do plano; sua borda é a curva de fronteira onde a igualdade vale.
• Desenhe a fronteira tracejada para inequações estritas (<, >) e contínua quando a fronteira está incluída (≤, ≥).
• Use um ponto de teste fora da fronteira para decidir qual lado sombrear; confira com um segundo ponto em casos complexos.
• A solução de um sistema de inequações é a interseção das regiões individuais — cada restrição só pode encolhê-la.
• Na programação linear, os pontos de canto da região viável são onde o ótimo de um objetivo linear precisa ocorrer.

Perguntas frequentes