Ungleichungen in zwei Variablen zeichnen

Von Gleichungen zu Ungleichungen

Die Gleichung y = x^2 zeichnet eine einzige Kurve: die Parabel. Die Ungleichung y > x^2 verlangt etwas Größeres — jeden Punkt (x, y), dessen y-Koordinate über der Parabel liegt. Statt einer Kurve ist die Lösung eine ganze Region: die unendliche Fläche, die über der Kurve aufgespannt wird. Eine Ungleichung zu zeichnen heißt, die Grenze zu zeichnen und die Seite zu schraffieren, die sie erfüllt.

Dieser Wechsel von Kurve zu Region ist der ganze konzeptionelle Schritt. Eine Gleichung in zwei Variablen beschreibt typischerweise eine eindimensionale Kurve; eine Ungleichung beschreibt eine zweidimensionale Region, deren Rand diese Kurve ist. Jeder Punkt, den Sie testen, gehört entweder zur Region oder nicht, und die Randkurve ist, wo Gleichheit gilt.

Randkurven: gestrichelt vs. durchgezogen

Der erste Schritt ist, die Grenze zu zeichnen — die Gleichung, die Sie erhalten, wenn Sie das Ungleichheitszeichen durch = ersetzen. Für y ≥ x^2 ist die Grenze die Parabel y = x^2, und sie wird durchgezogen gezeichnet, weil ihre Punkte die Ungleichung erfüllen: Die Grenze ist in der Lösung enthalten.

Für strikte Ungleichungen (< oder >) wird die Grenze gestrichelt gezeichnet, weil Punkte auf der Kurve selbst die Ungleichung nicht erfüllen. y > x^2 und y ≥ x^2 unterscheiden sich nur an der Parabel selbst, doch dieser eine-Punkt-dicke Unterschied zählt in Optimierungsproblemen, wo ein Optimum exakt auf einer strikten Grenze unerreichbar ist. Der Rechner folgt dieser Konvention: gestrichelt für strikt, durchgezogen für nicht-strikt.

Schraffur und die Testpunkt-Methode

Sobald die Grenze gezeichnet ist, teilt sie die Ebene in Regionen (meist zwei). Wählen Sie einen beliebigen Punkt nicht auf der Grenze — einen Testpunkt — setzen Sie ihn in die Ungleichung ein und sehen Sie, ob die Aussage wahr ist. Wenn ja, schraffieren Sie die gesamte Region dieses Punkts; wenn nicht, schraffieren Sie die andere Seite.

Für y > x^2 ist der Ursprung (0, 0) ein bequemer Testpunkt — Moment, er liegt auf der Grenze. Wählen Sie stattdessen (0, 1): 1 > 0 ist wahr, also schraffieren Sie die Region über der Parabel, die (0, 1) enthält. Eine sichere Gewohnheit: Verifizieren Sie immer, dass Ihr Testpunkt nicht auf der Grenze liegt, bevor Sie dem Ergebnis vertrauen, und prüfen Sie bei komplizierten Ungleichungen mit einem zweiten Punkt in der schraffierten Region nach.

Systeme von Ungleichungen und zulässige Bereiche

Reale Probleme involvieren meist mehrere Ungleichungen auf einmal — ein System. Die Lösung ist die Menge der Punkte, die alle gleichzeitig erfüllen: der Schnitt der einzelnen schraffierten Regionen. Jede neue Ungleichung kann die Lösung nur schrumpfen, niemals wachsen lassen, weil Punkte nun einen weiteren Test bestehen müssen.

Das ist das geometrische Herz der linearen Programmierung: Nebenbedingungen wie x ≥ 0, y ≥ 0 und 2*x + 3*y ≤ 12 schnitzen einen polygonalen zulässigen Bereich heraus, und das Optimum einer linearen Zielfunktion sitzt immer an einer seiner Ecken. Schraffieren Sie jede Ungleichung der Reihe nach, behalten Sie nur die Überlappung, und der zulässige Bereich, der übrig bleibt, ist, wo alle Nebenbedingungen auf einmal gelten. Versuchen Sie y ≤ x^2 und y ≥ −x zusammen, um einen linsenförmigen Schnitt zu sehen, der von zwei Kurven begrenzt wird.

Einen schraffierten Graphen lesen

Ein fertiger Ungleichungsgraph kommuniziert drei Dinge: die Grenze (mit ihrer gestrichelt/durchgezogen-Bedeutung), die schraffierte Lösungsregion und implizit alles außerhalb der Schraffur, das scheitert. Wenn Sie einen solchen Graphen lesen, identifizieren Sie zuerst die Randkurve und ihre Striktheit und bestätigen dann die Schraffur mit einem schnellen mentalen Testpunkt.

Häufige Fehlablesungen: vergessen, dass die unschraffierte Seite ausgeschlossen ist (nicht „unbekannt“), eine gestrichelte Grenze für eine enthaltene halten und bei Systemen jede Ungleichung schraffieren, aber niemals den Schnitt bilden. Geben Sie die Ausdrücke unten ein, schalten Sie zwischen strikten und nicht-strikten Formen um und beobachten Sie, wie sich Schraffur und Grenzstil ändern, während sich die Bedeutung der Region um exakt die Randkurve verschiebt.

Wichtigste Erkenntnisse

• Eine Ungleichung in zwei Variablen beschreibt eine Region der Ebene; ihr Rand ist die Randkurve, wo Gleichheit gilt.
• Zeichnen Sie die Grenze gestrichelt für strikte Ungleichungen (<, >) und durchgezogen, wenn die Grenze enthalten ist (≤, ≥).
• Nutzen Sie einen Testpunkt abseits der Grenze, um zu entscheiden, welche Seite zu schraffieren ist; prüfen Sie bei komplexen Fällen mit einem zweiten Punkt nach.
• Die Lösung eines Ungleichungssystems ist der Schnitt der einzelnen Regionen — jede Nebenbedingung kann ihn nur schrumpfen.
• In der linearen Programmierung sind die Eckpunkte des zulässigen Bereichs, wo das Optimum einer linearen Zielfunktion auftreten muss.

Häufig gestellte Fragen