Graficar desigualdades en dos variables

De ecuaciones a desigualdades

La ecuación y = x^2 dibuja una sola curva: la parábola. La desigualdad y > x^2 pide algo más grande —cada punto (x, y) cuya coordenada y esté por encima de la parábola. En lugar de una curva, la solución es una región entera: el área infinita barrida por encima de la curva. Graficar una desigualdad significa dibujar la frontera y sombrear el lado que la satisface.

Este paso de curva a región es todo el salto conceptual. Una ecuación en dos variables suele describir una curva unidimensional; una desigualdad describe una región bidimensional cuyo borde es esa curva. Cada punto que pruebes o bien pertenece a la región o bien no, y la curva frontera es donde se cumple la igualdad.

Curvas frontera: discontinuas frente a continuas

El primer paso es graficar la frontera —la ecuación que obtienes al reemplazar el signo de desigualdad por =. Para y ≥ x^2 la frontera es la parábola y = x^2, y se dibuja continua porque sus puntos satisfacen la desigualdad: la frontera está incluida en la solución.

Para desigualdades estrictas (< o >), la frontera se dibuja discontinua, porque los puntos de la propia curva no satisfacen la desigualdad. y > x^2 e y ≥ x^2 difieren solo en la propia parábola, y sin embargo esa diferencia de un punto de grosor importa en problemas de optimización, donde un óptimo situado exactamente sobre una frontera estricta es inalcanzable. La calculadora sigue esta convención: discontinua para estrictas, continua para no estrictas.

Sombreado y el método del punto de prueba

Una vez dibujada la frontera, esta divide el plano en regiones (normalmente dos). Elige cualquier punto que no esté en la frontera —un punto de prueba—, mételo en la desigualdad y mira si el enunciado es verdadero. Si lo es, sombrea toda la región de ese punto; si no, sombrea el otro lado.

Para y > x^2, el origen (0, 0) es un punto de prueba cómodo —un momento, está en la frontera. Elige (0, 1) en su lugar: 1 > 0 es verdadero, así que sombrea la región sobre la parábola que contiene a (0, 1). Un hábito seguro: verifica siempre que tu punto de prueba no esté en la frontera antes de confiar en el resultado, y confirma con un segundo punto de la región sombreada si la desigualdad es complicada.

Sistemas de desigualdades y regiones factibles

Los problemas reales suelen implicar varias desigualdades a la vez —un sistema. La solución es el conjunto de puntos que las satisfacen todas simultáneamente: la intersección de las regiones sombreadas individuales. Cada desigualdad nueva solo puede encoger la solución, nunca agrandarla, porque los puntos ahora deben pasar una prueba más.

Este es el corazón geométrico de la programación lineal: restricciones como x ≥ 0, y ≥ 0 y 2*x + 3*y ≤ 12 recortan una región factible poligonal, y el óptimo de un objetivo lineal siempre está en una de sus esquinas. Sombrea cada desigualdad por turno, conserva solo el solapamiento, y la región factible que queda es donde todas las restricciones se cumplen a la vez. Prueba y ≤ x^2 e y ≥ −x juntas para ver una intersección en forma de lente limitada por dos curvas.

Leer una gráfica sombreada

Una gráfica de desigualdad terminada comunica tres cosas: la frontera (con su significado discontinuo/continuo), la región sombreada de la solución e implícitamente todo lo que queda fuera del sombreado, que no la satisface. Al leer una gráfica así, primero identifica la curva frontera y su rigidez, luego confirma que el sombreado coincide con un rápido punto de prueba mental.

Lecturas erróneas comunes: olvidar que el lado sin sombrear está excluido (no «se desconoce»), confundir una frontera discontinua con una incluida y, en sistemas, sombrear cada desigualdad pero no tomar nunca la intersección. Introduce las expresiones de abajo, alterna entre formas estrictas y no estrictas, y observa cómo cambian el sombreado y el estilo de la frontera mientras el significado de la región cambia exactamente en la curva frontera.

Ideas clave

• Una desigualdad en dos variables describe una región del plano; su borde es la curva frontera donde se cumple la igualdad.
• Dibuja la frontera discontinua para desigualdades estrictas (<, >) y continua cuando la frontera está incluida (≤, ≥).
• Usa un punto de prueba fuera de la frontera para decidir qué lado sombrear; reconfirma con un segundo punto en casos complejos.
• La solución de un sistema de desigualdades es la intersección de las regiones individuales —cada restricción solo puede encogerla.
• En programación lineal, el óptimo de un objetivo lineal sobre una región factible poligonal siempre ocurre en una esquina de esa región.

Preguntas frecuentes