Équations paramétriques vs cartésiennes

Forme cartésienne : y comme fonction de x

La forme cartésienne y = f(x) est la forme familière : pour chaque x, l’équation vous donne le y. C’est le langage naturel des fonctions — chaque droite verticale rencontre le graphe au plus une fois, donc la courbe ne rebrousse jamais chemin verticalement. La pensée entrée-sortie, le domaine et l’ensemble d’arrivée, et le test de la droite verticale appartiennent tous à cette forme.

Mais la forme a une limite dure : elle ne peut pas décrire les courbes qui bouclent, s’auto-intersectent ou voyagent verticalement. Un cercle a besoin de deux équations cartésiennes (moitiés haute et basse) ; une courbe tracée deux fois, ou tracée à rebours, est inexprimable. Dès que la position, la forme ou le mouvement est plus riche qu’« un y par x », la forme cartésienne manque de place.

Forme paramétrique : les deux coordonnées suivent un paramètre

Les équations paramétriques introduisent une troisième variable, le paramètre t, et définissent x et y séparément : x = x(t), y = y(t). Quand t parcourt son intervalle, le point (x(t), y(t)) trace la courbe. Le cercle unité devient x = cos(t), y = sin(t) pour t dans [0, 2π) — une seule paire d’équations propre, sans découpage en moitiés, sans ambiguïté ±.

Le paramètre porte souvent un sens : ce peut être le temps. Alors x = t, y = t^2 trace la parabole y = x^2 de gauche à droite quand t augmente, tandis que x = −t, y = t^2 trace la même parabole de droite à gauche. Même forme, trajets opposés — une distinction que la forme cartésienne ne peut même pas énoncer. La forme paramétrique sépare ce à quoi ressemble la courbe de la façon dont on la parcourt.

Passer d’une forme à l’autre

Passer du paramétrique au cartésien signifie éliminer le paramètre. Si x = t et y = t^2, la substitution donne directement y = x^2. Pour x = cos(t), y = sin(t), élever au carré et additionner utilise cos²t + sin²t = 1 pour retrouver x² + y² = 1. L’élimination est généralement de l’algèbre plus une identité bien choisie.

Le sens inverse — paramétrer une courbe cartésienne — a toujours au moins une réponse triviale : posez x = t, y = f(t). Les paramétrisations intéressantes sont les non triviales, comme le cercle ci-dessus ou x = t^2, y = t^4 − 3*t^2 pour une courbe qui repasse par des points déjà visités. Notez que la conversion peut perdre de l’information : éliminer t de x = t, y = t^2 jette le sens de parcours, que seule la forme paramétrique avait enregistré.

Quand chaque forme est le bon outil

Utilisez la forme cartésienne quand la relation est véritablement fonctionnelle — une sortie par entrée — et quand vous voulez les outils du calcul différentiel (dérivées, intégrales, recherche de racines) dans leur cadre le plus simple. La plupart des formules en science et en économie arrivent ainsi.

Utilisez la forme paramétrique pour les courbes fermées, les courbes auto-intersectées, et tout ce qui implique un mouvement ou un tracé — trajectoires de projectiles avec le temps comme paramètre, figures de Lissajous, épicycles en forme d’engrenages. Utilisez-la aussi quand une équation cartésienne est maladroite : la courbe x = y^2 est une très bonne parabole couchée, mais ce n’est pas une fonction de x, tandis que x = t^2, y = t la paramètre sans effort. Si la courbe boucle ou si le trajet compte, prenez le paramétrique.

Voir la différence dans la calculatrice

Tracez y = sin(x) en forme cartésienne, puis x = t, y = sin(t) en paramétrique sur la même fenêtre : des courbes identiques, car la seconde n’est qu’une reparamétrisation de la première. Essayez maintenant x = sin(t), y = sin(2*t) — une figure de Lissajous — et demandez quelle équation cartésienne unique y = f(x) pourrait la produire. Aucune : la courbe se croise elle-même et attribue plusieurs y à un même x.

Ajustez l’intervalle de t et regardez le tracé : avec t de 0 à π vous obtenez la moitié de la figure, avec 0 à 2π la figure entière. Ce contrôle sur la portion de courbe dessinée, et sur l’ordre du tracé, est l’avantage signature de la forme paramétrique — et la raison pour laquelle le mouvement, des projectiles aux orbites planétaires, se modélise en paramétrique.

Points essentiels

• La forme cartésienne y = f(x) donne un y par x — elle ne peut pas décrire les boucles, les segments verticaux ni les auto-intersections.
• La forme paramétrique x = x(t), y = y(t) trace une courbe quand t varie ; t représente souvent le temps, encodant le sens de parcours.
• Le cercle unité demande deux équations cartésiennes mais une seule paire paramétrique : x = cos(t), y = sin(t).
• Éliminer le paramètre convertit le paramétrique en cartésien, mais l’information du sens de parcours est perdue.
• Utilisez le paramétrique quand la courbe boucle, s’auto-intersecte, ou quand le trajet le long d’elle compte ; le cartésien pour les relations fonctionnelles.

Questions fréquentes